XIX Jornada didàctica matemàtica d’ABEAM

diàleg entre un professor de matemàtiques i un trangle equilàter

Els triangles equilàters viuen desde fa molts anys entre nosaltres. Configuracions de probabilitat nul·la, han estat sempre un producte humà, fruït del nostre sorprenent interès en la perfecció, la simetria i la bellesa. Aquests triangles formen avui part de la nostra vida quotidiana: en escultures, en “quilts”, en edificis, en rellotges de sol, en cúpules, en estructures de barres, en aparells, en dissenys per a billars i per a cafeteres, en senyals de tràfic i en avisos de cotxes aturats… de fet és l’únic polígon que és instrument musical.

Així doncs els triangles equilàters ens els trobem cada dia i molts especialment en l’espai escolar. Un conegut acudit gràfic de Roy Nixon representava un noi cap a l’escola que es troba una senyal (triangular!) de tràfic indicant “Perill, triangles equilàter d’aquí en endavant”.

El que desitjo exposar avui es una historia extraordinària que vaig viure fa poc, personalment. Era una tarda calorosa d’estiu i s’em va aparèixer un triangle equilàter. A d’altre gent s’els hi apareixen divinitats o inspectors d’hisenda però a mi s’em va aparèixer un triangle equilàter. El que intentaré transcriure aquí i compartir, és el llarg diàleg que varem mantenir.

 

El triangle equilàter es troba en Claudi

T.E: Qui ets?

CA: Claudi Alsina, professor de matemàtiques. I tú?

TE: Jo soc un triangle equilàter molt jove.

CA: Jove?

TE: ¡Si! He nascut fa dues hores en una pissarra d’una escola i aleshores ha sonat el timbre. I com que el que venia després era una sisena hora d’escacs m’han deixat abandonat. Ells no han aprés res de mi però jo tampoc. Per això he decidit sortir a voltar i t’he trobat.

CA: ¡Ja és casualitat no? Però en fi si vols et puc explicar l’història de la teva família. T’interessa? TE: Si que m’interessa però no et passis ¡ que jo soc de lletres!

CA: ¡Ja no vé d’un! Però de tu no m’ho esperava ¿De lletres una figura geomètrica?

TE: Doncs si. Ja t’he dit que just fa dues hores que he vingut al món i tan bon punt he estat a la pissarra m’han escrit tres lletres majúscules ABC en els meus vèrtexs i tres lletres minúscules a, b, c en els costats. Per tant he quedat rodejatde lletres. I després m’han dibuixat amb Geogebra i també han sortit les lletres… automàticament.

CA: A Grècia vareu ser una lletra (delta) però en ser la quarta lletra representaveu també el número 4.

 

El triangle equilàter s’interessa pels seus orígens

TE: Nosaltres els triangles equilàters d’on venim?

CA: Fa molts segles, algú va traçar un triangle equilàter: tres punts equidistants, tres costats iguals, tres angles iguals,… potser us va traçar algú a la sorra d’una platja mediterrània o us va gravar en fang un babiloni per representar un número.

TE: En que quedem: figura o número?

CA: Tot a la vegada. Una pedra triangular representava el 60. El vostre angle de “60º” té molt a veure amb el 360 i la numeració babilònica. 6+0=6 i tres sisosfan el número de la bestia 666. Esteu lligats als números però també a figures místiques!

TE: Jo místic?

CA: Doncs si. La “trinitat”egípcia era Osiris pare, Horus fill, Iris mare… i la “trinitat cristiana” és Pare, Fill i Esperit Sant… el triangle equilàter com a símbol del Deu cristià. I ets present en l’iconografia hindú. I en el traçat de la teva figura neix la “vesica piscis”, símbol inicial del cristianisme, símbol del peix i origen de les mitres bisbals. També has format part de la simbologia masònica: el triangle equilàter format per quatre triangles idèntics (Sheffield Masonic Hall)…

TE: ¿Molta imaginació o molta religió?

CA: Un escriptor, Abbott, va inventar Flatland, un sorprenent conte de la vida en un pla on vosaltres éreu els comerciants!

TE: ¿Comerciants?

CA: Sí. Per Abbott els obrers eren triangles isósceles i en cada generació s’augmentava un grau fins a sorgir un descendent de 60º que era ja comerciant. El seu fill era un quadrat, és a dir, un intel·lectual, i anant augmentat els costats en sorgia la noblesa…

TE: Hi ha gent que té molt poca feina oi?

CA: Inclús hi ha qui ha fet “triangles impossibles”.

TE: A veure, qui va ser el primer que ens va considerar seriosament?

CA: Euclides (cap el 325 aC). El gran geòmetra grec us posa en la primera proposició del llibre primer dels seus Elements: com construir un triangle equilàter donat un segment.

TE: Així puc parlar de l’avi Euclides?

CA: I si vols de l’oncle Pitàgores.

TE: Qui era aquest?

CA: Un altre gran geòmetra, amant dels nombres i molt famós pel seu teorema per a sumar quadrats mitjançant triangles rectangles.

TE: Però jo no tinc res a veure amb els triangles rectangles!

CA: Doncs si. Gràcies a l’oncle Pitàgoras un com tu de costat 2 es divideix en dos triangles rectangles d’hipotenusa 2 i catets 1 i √3. Els triangles rectangles els porteu a dintre i han fet veure que esteu plens “d’irracionals”.

TE: Irracionals vol dir estúpids?

CA: No. Vol dir “no racionals”, que no teniu possibilitat de fer una unitat que repetida un nombre enter de vegades doni el vostre costat i la vostra altura.

TE: I si l’oncle Pitàgoras sabia sumar quadrats, no va saber sumar-nos a nosaltres?

CA: Si, gràcies a que primer va saber sumar els quadrats. El triangle equilàter sobre la hipotenusa d’un triangle rectangle té per àrea la suma de les àrees dels situats sobre els catets. Però fins el 1923 no es va proposar el problema de trobar una disecció dels triangles equilàters que permetés veure la seva relació pitagórica. Ho va resoldre H.C. Bradly set anys després

diàleg entre un professor de matemàtiques i un trangle equilàter

Cap el 2003 s’han donat curioses relacions entre els tres equilàters sobre un triangle quan aquest té un angle especial com C=60º.

diàleg entre un professor de matemàtiques i un trangle equilàter

O bé C=120º Al triangle equilàter li encanta ser rajola

diàleg entre un professor de matemàtiques i un trangle equilàter

TE: Oi que jo soc una bona rajola?

CA: Perfecte. Tu, el quadrat i l’hexàgon sou mosaics regulars. I apareixes també en els 8 semiregulars… però no et fabriquen!

TE: I perquè no ho fan?

CA: Per que enrajoles bé però el perill de que es trenquin els teus vèrtexs és considerable. Sort que a l’Alhambra s’han fet rajoles ingenioses a partir de tú. Es ben curiós que sis còpies teves donen un hexàgon i la seva àrea és igual a la de les sis llunes associades i un cercle central:

diàleg entre un professor de matemàtiques i un trangle equilàter

En Roger i jo ho justifiquem així

diàleg entre un professor de matemàtiques i un trangle equilàter

 

El triangle descobreix que a l’espai també enamora

TE: I més enllà del pla jugo algun paper?

CA: Sort tenim de tú. Ets la clau en tres dels cinc poliedres regulars (tetraedre, octaedre i icosàedre) i ets el protagonista absolut dels 8 tipus possibles de deltaedres amb totes les cares com tú. És curiós que estàs en sols 3 tipus de piràmides amb cares regulars, en 3 tipus de bipiràmides i en canvi en infinits antiprismes, com a cares laterals entre dos polígons regulars paral·lels girats. Et vaig a posar un problema.

TE: Que sigui fàcil si us plau!

CA: T’agafem i, fem tres còpies més i formem un tetraedre el qual col·loquem sobre una piràmide de base quadrada i cares laterals idèntiques a tú. Els cos que resulta quantes cares tú?

TE: Set! És evident.

CA: Doncs no, són sols 5. Mira la figura i observa bé.

diàleg entre un professor de matemàtiques i un trangle equilàter

 

Els triangles equilàters porten al punt de Fermat

TE: Expliquem quelcom en que sigui inesperable la nostra presència.

CA: En el punt de Fermat. El punt de Fermat d’un triangle és el que la suma de distàncies als tres vèrtex és mínima. I es pot dibuixar gràcies a posar tres còpies equilàteres sobre els seus costats i unir cada vèrtex amb el seu oposat en aquesta configuració

diàleg entre un professor de matemàtiques i un trangle equilàter

 

Fixa’t que girant APB just 60º alrededor de B obtenim que|PB| = |PP’|, |AP| = |C’P’| i |AP| + |BP| + |CP| serà mínima sols si els punts C’, P’, P, C estan al·lineats!

TE: I jo que hi guanyo?

CA: Tú no ho sé però en Weitzenböck va fer-se famós amb una desigualtat:

diàleg entre un professor de matemàtiques i un trangle equilàter

I en Roger i jo la varem poder visualitzar aprofitant el punt de Fermat

diàleg entre un professor de matemàtiques i un trangle equilàter

 

La politització del triangle equilàter

CA: Ja se que tú no ho vas cercar, però el teu nom es va polititzar i en determinades situacions et presenten com el triangle de Napoleó, del general Napoleó Bonaparte…

TE: Napoleó Bonaparte? El general tenia temps per a fer geometria?

CA: No ho sabem. Potser algú li va xivar. Però el fet és que va quedar el “teorema de Napoleó” del “triangle de Napoleó”:

Si en un triangle qualsevol es col·loquen tres equilàters corresponents als tres costats, els seus centres sempre formen un triangle equilàter.

diàleg entre un professor de matemàtiques i un trangle equilàter

 

En la figura (b) generada podem veure el perquè ABC és equilàter.

 

El miracle del triangle equilàter

CA: ¿Sabies que una aparició teva ha estat qualificada com a miraculosa?

TE: ¿Jo un miracle com a Lourdes?

CA: ¿No? El miracle es diu de Morley. En Frank Morley (1860-1937) va gosar un dia de 1899 agafar un triangle qualsevol, trisecar els seus angles i descobrir amb sorpresa que les trisectrius es tallaven en tres punts que determinaven sempre un triangle equilàter.

TE: ¿I per això va caldre esperar fins a 1899? ¿Ningú ho va poder veure abans?

CA: La Història de la Matemàtica és així. Les descobertes surten quan surten i en aquest cas l’operació de trisecar (impossible de fer en general amb regle i compàs) va fer que tothom passes de llarg fins que en Frank va agafar les trisectrius com a dades i va mirar que passava. Però, com és costum, la millor demostració d’això no la va trobar el descobridor. Va caldre esperar a que John Conway la trobés el 1995, quasi cent anys desprès i es la que trobaràs en Internet (www.cut-the-knot.org/triangle/Morley/conway.shtml).

 

El triangle equilàter descobreix que és diví

TE: Abans ja m’has aclarat la presencia √3 de lligada a la meva altura. Es llàstima que el famós nombre d’or:

diàleg entre un professor de matemàtiques i un trangle equilàter

…no el tingui. M’hauria agradat ser un triangle diví!

CA: T’equivoques! Tu ets diví. Com podria ser que una figura tan perfecte no fos divina? Però això no s’aclarà fins el 1983. Un problema del American Mathematical Monthly (3007, George Odom) va posar en evidència que:

“Si A i B són els punts mitjos dels costats EF i EB d’un triangle equilàter DEF i s’exten AB fins intersecar el circumcercle del triangle en un punt C aleshores B divideix AC d’acord amb la proporció aurea”

La millor demostració d’això la trobà van de Craats el 1986:

diàleg entre un professor de matemàtiques i un trangle equilàter

 

Com que els triangles ombrejats de l’esquerra són semblants, és (1+x)/x = x/1 o sigui x² i per tant x= φ.

Fa poc al 2003, Righy es va adonar del que es veu a la dreta de la figura: el costat del triangle gran ombrejat dividit pel del triangle petit és i per tant les seves àrees tenen raó φ² = φ + 1.

 

El teorema de Viviani vist per Kawasawa

TE: Vaig de sorpresa en sorpresa. Queda quelcom?

CA: Vet aquí com Vivani, col·laborador de Galileu va adonar-se un dia que en un triangle equilàter si agafem qualsevol punt interior o frontera i fem les seves distàncies als costats, aquestes sumen exactament l’altura. Uns quants segles desprès Kawasawa ho demostrà amb un dibuix.

diàleng entre matemàtic i triangle

 

TE: I desprès de tot això, em pregunto: i perquè no m’han dedicat la sisena hora a mí?

***

Fins aquí la llarga conversa amb el triangle equilàter. Una cosa que vaig descobrir es que ni les figues geomètriques saben geometria. Som nosaltres els que les descobrim! Però en explicar-li al triangle aquest davasall de propietats també m’ha servit per adonar-me del ritme estrany de les nostres descobertes. Sobre la marxa anem fent. La qual cosa trenca absolutament el valor de l’estructuralisme bourbakià: hi ha intuïcions, hi ha nous problemes, hi ha creativitat i així hi ha progrés matemàtic.

Però com tot a la vida, no tot és el que sembla i per tant m’agradaria aclarir dos punts sobre aquesta conferència.

Primer punt: Alguns podrien creure que és una xerrada de geometria i de visualització. No es confonguin!. Aquesta ha estat una xerrada reivindicant el paper de “les històries” en l’educació matemàtica. Compartir matemàtiques és una experiència meravellosa si hi sabem posar imaginació, calor humà i reptes.

Segon punt: tota l’estona hi ha hagut un triangle equilàter aparent però el triangle que dona sentit a la nostra feina és també una “trinitat” educativa:

diàleng entre matemàtic i triangle

 

I aquest triangle ha de ser equilàter: els tres vèrtexs mereixen la mateixa il·lusió.

¡Que aquest triangle ens acompanyi a tots…!

 

 

Referències

C. Alsina i R.B. Nelsen, Math Made Visual. Creating Images for Understanding Mathematics, MAA, Washington, 2006.

C. Alsina, R. Nelsen, Geometric proofs of the Weitzenböch and Hadwiger-Finsler inequalities, Mathematics Magazine vol. 81, nº 3 (2008) 216-218.

C. Alsina, R.B. Nelsen, When Less is More. Visualizing Basic Inequalities. The Mathematical Association of America, Washington, 2009.

C. Alsina i R.B. Nelsen, Charming Proof. A Journey into Elegant Mathematics, MAA, Washington, 2010.

A. Engel, Problem-Solving Strategies, Springer, New York, 1998.

R. Honsberger, Mathematical Gems, Mathematical Association of America, Washington, 1973.

K. Kawasaki, Proof without words: Viviani’s theorem. Mathematics Magazine, 78 (2005), p 213.

M. Moran Cabre, Mathematics without words, The College Mathematics Journal, 34 (2003), p. 172.

R.B. Nelsen, Mathematics without words: Another Pythagorean-like thoerem. The College Mathematics Journal, 35 (2004), p. 215.

J.F. Rigby, Equilateral triangles and the golden ratio, in C. Pritchard, The Changing Shape of Geometry, Cambridge University Press, Cambridge, 2003, pp. 292-295.

J. van de Craats, The golden ration from an equilateral triangle and its circumcircle, American Mathematical Monthly, 93 (1986), p. 572.