Bienvenidas y bienvenidos a esta conferencia. Es una conferencia sobre dos números pero contiene tres historias de amor y es el resultado de un viaje.

Recientemente, inicié el viaje dirección Buenos Aires y tan pronto llegué al Hotel Lyon en Riobamba expliqué a los recepcionistas que en esta ocasión y antes de ir al Seminario Internacional, quería hacer desde Buenos Aires una breve escapada al Paraiso Numérico, este hermoso lugar donde están los números.

¿Me aconsejan ir en taxi o en remís?

-En remís irá más seguro –contestaron sin dudar

Tan pronto subí al remís indiqué mi deseo de ir al Paraíso Numérico, y sin ningún tipo de pregunta el conductor emprendió la ruta. Atravesamos muchas avenidas y como el viaje se hacía largo dije:

-¿Seguro que sabe donde está el Paraíso Numérico?

-Por supuesto, todos van al mismo sitio –replicó seguro- ¡Mire ya llegamos!

Desde el remís observé la entrada de un local con luces rojas y un letrero que anunciaba “El Paraíso” con letras de neón, y unos corazones rojos.

Me parece que se confudió –dije- Yo le indiqué el Paraíso Numérico y no este “paraíso” tan terrenal…

De nuevo en el Hotel Lyon me interesé por un posible remís aéreo para acercarme al verdadero Paraíso Numérico. Como no me aclararon donde podría conectar con un remís aéreo salí a pasear, vi a una niña y le pedí un dibujo.

-¿Me dibujas un remís aéreo para viajar al Paraiso Numérico?

Y ella no tuvo ningún problema en dibujar. A través de su dibujo llegué al Paraíso buscado y hoy comparto con ustedes mi breve visita. Espero con ello animarles a que también ustedes viajen a menudo a este Pariso… al que se llega con solo el remís de su imaginación.

En el Paraíso Numérico viven nuestros queridos números. Algunos son pequeños y raros, otros son grandes y espectaculares. Por cierto, en las Escuelas de Números la asignatura más difícil es la “Humanoática” al resultar demasiado abstracta.

En el Paraíso Numérico hay inmensos lugares como Naturolandia, Tierra de Enteros, El Mundo de las Fracciones, La Selva de los Irracionales, El Castillo de los Imaginarios,… y muchos terrenos más por explorar.

 

Números comparados de Gloria Fuertes

Cuéntame un cuento de números,
háblame del dos y el tres
-del ocho que es al revés
igual que yo del derecho-.
Cuéntame tú que te han hecho
el nueve, el cinco y el cuatro
para que los quieras tanto;
anda pronto, cuéntame.
Dime ese tres que parece
los senos de cualquier foca;
dime, ¿de quién se enamora
ese tonto que es el tres?
Ese pato que es el dos,
está navegando siempre;
pero a mí me gusta el siete,
porque es un roto en la vida,
y como estoy descosida,
le digo a lo triste: Vete.
Cuéntame el cuento y muy lenta,
que aunque aborrezco el guarismo,
espero gozar lo mismo
si eres tú quien me lo cuenta.

El desfile de moda

Al llegar al Paraíso Numérico pronto encontré un desfile de moda. Esto es lo que ví y oí:

  • Bienvenidos/as al desfile de moda de la colección 2007/2008 de primavera y verano.
  • En el desfile que vamos a presenciar tendrán ustedes ocasión de ver lo último en dígitos. Los diseñadores gráficos más famosos nos ofrecerán en exclusiva vara este distinguido público humano las últimas pautas para los números.
  • Desfila en primer lugar la creación de Roberto Piazza.
  • Para esta ocasión Piazza ha elegido un color clásico, el negro, proponiendo unas líneas esbeltas con suaves curvas. Estas curvas dan a la colección un aire desenfadado, adecuado para esta temporada de primavera/verano.
  • La propuesta de Paula Cahen D’Anvers es de tonos difuminados, fusión de rojo y oro con ligeras inclinaciones para destacar en pasos y atracciones.
  • La propuesta de María Vázquez, siempre con dorados, está pensada para un ambiente de sol y playa teniendo en cuenta que los números también necesitan vacaciones.
  • La colección de Rapsodia, inspirada en el arte japonés minimal, nos ofrece una serie muy práctica de ceros y unos que combina con todo. Una ligera inclinación da un carácter juvenil. Ideal para fiestas de códigos de barras, darán un toque distintivo a todas las fotografías digitales que realicen durante las vacaciones.
  • Y acaba el desfile con un desenfadado y original conjunto diseñado por Roberto Giordano pensado para gente de letras. Una moda provocadora que pretende unir en el cielo lo que Dios no pudo unir en la Tierra. ¡Moviendo las cabezas!

***

Y después del desfile recibí dos cartas. Enterados de mi presencia en el Paraíso, un medio y e tuvieron la amabilidad de enviarme sus propias autobiografías con el deseo expreso de que éstas pudieran ser divulgadas. Los números nos contarán en primera persona y con todo su amor, su vida, sus inquietudes, sus deseos.

Historia de un medio contada por él mismo

Es un honor para mí, un medio, poder dirigirles la palabra a través de Claudi Alsina y a través de ella poderles contar mi vida. Nosotros los números estamos encantados de serles útiles y ser usados continuamente pero también nos gusta, como a todos, poder explicar nuestras vivencias.

La Biblia y yo

De acuerdo con los relatos bíblicos cuando yo nací no estaban ni ustedes ni tan solo el Planeta Tierra. Ya en la primera página del Génesis (Capítulo 1: La Creación) aparezco implícitamente al ir creando Dios alternativas como día-noche, agua-tierra, luz-tinieblas, etc. No crea tres o cuatro, o quinientas clases de realidades sino que va delimitando de forma binaria todo aquello que existe. De forma explícita mi nombre literal aparece en el epígrafe 1:6:

1:6 Luego dijo Dios: Haya expansión en medio de las aguas, y separó las aguas de las aguas.

Aparezco de nuevo en la dicotomía de ofrendas de Caín y Abel a Dios (4:3, 4:4) y en muchísimos otros pasajes donde las divisiones en dos mitades se multiplican: maldad-bondad, verdad-falsedad, etc.

El mundo de los medios

Es francamente curiosa la enorme cantidad de usos que a nivel de lengua se hace con mi nombre. A veces soy un adjetivo (“media naranja”), a veces soy un sustantivo masculino (“medio aristocrático”), a veces soy un sustantivo femenino (“una media de cerveza”), a veces vengo en plural (“necesitamos más medios”)… pero lo más curioso de todo es los muchos significados que hoy yo represento.

Ni que decir tiene, que es en los diversos significados matemáticos donde más cómodo me encuentro:

medio. m. Mat. 1. Quebrado que tiene por denominador el número 2 y por numerador el número 1 y representa a la unidad dividida en do partes iguales. 2. en el silogismo, razón con que se prueba algo. 3. cada uno de los términos segundo y tercero de una proposición.

medio. adj. Mat. 1. Igual a la mitad de algo. 2 Que está entre dos extremos, en el centro de algo o entre dos cosas. 3. Que está intermedio. 4. Que equidista de dos extremos.

y disponiendo de diversos apellidos ilustres designo en toda una serie de importantes operaciones a mi servicio (“promedio”):

dos numeros tres historias de amor

Para nosotros, los números, nuestro traje de domingo, de gala, son los símbolos. Me presento en formas diversas:

dos numeros tres historias de amor

pero esto no ha sido siempre así. Los egipcios, por ejemplo, me ponían muy mono con un dibujo de una elipse alargada, como una boca, cubriendo dos palitos de unidades.

También aparezco con decimales o, sorprendentemente, a través de otras funciones que han ido identificando conmigo.

dos numeros tres historias de amor

siendo mis igualdades favoritas las que usan entre numerador y denominador todos los dígitos del 1 al 9:

dos numeros tres historias de amor

Usos normales de mi nombre medio o mitad se encuentran en las ciencias:

en medio, en el punto mitad, el medio terrestre, el medio marino, el medio acuático, el arco de medio punto, media vuelta, medio ciclo, oído medio, onda media, término medio, medio físico, medio cultural,

Pero al entrar en mundos no científicos la cosa se desmanda.

Los de letras tanto me usan en relación a un caso deseable o esperanzador:

medio asado, medio vestido, meterse de por medio, partir por en medio, mejorará a medias, media parte, media pensión, medias tintas, medias palabras, medio luto, media ciudad fue a pasear,…

como me usan en relación a un caso indeseable o desastroso:

este chico es medio tonto, va corto de medios, comimos a medias, en medio de tanta pobreza, errtecho de medios, iremos a medias, se equivocó de medio a medio, lo quitaremos de en medio,…

A veces me dan un valor geográfico, de lugar:

en medio de la selva, la línea media de los futbolistas, en medio de la plaza,…

pero también sirvo para indicar tiempos, épocas, momentos:

Edad Media, media noche, medio día, medio tiempo, hacia mitad de siglo, vida media, las siete y media, a la media en punto…

Sorprendentemente se me usa también para indicar situaciones financieras:

poner los medios, por medio del dinero, medios aristocráticos, medios propios, la riqueza media,…

También mi significado se ha politizado:

Clase media, el ciudadano medio, la riqueza media del país,…

De los medios de transporte más vale no hablar: ¿se llaman así porque siempre se quedan a mitad de camino?, ¿es por ir colgados con medio cuerpo dentro y medio fuera?… Pero si que debemos hablar de los “medios de comunicación”.

 

Los medios de comunicación

Mientras las obras escritas fueron originales y con pocas copias manuales la escritura se hacía para aquellos que tuvieron la suerte de poseer el original o una copia, y todo tenía una cierta altura. Pero con Gutenberg la cosa degeneró. La imprenta permite olvidarse del original y distribuir muchas copias, siendo entonces los escritos dirigidos a muchos lectores. Lo del lector medio estaba cantado.

Para justificar los escritores que escriben para alguien (¡ya quisieran muchos tener un lector diferente al autor!) se ha inventado el “lector medio” que no es ni una lumbrera (cerraría el libro después del prólogo) ni es un imbécil (sabe, que se editan libros) pero es una persona “normal”. Sabe leer sin separar las palabras por sílabas, puede comprar algún libro, no acostumbra a prestar sus libros ni revenderlos (los guarda en un mueble), etc. Más triste es el caso de los periódicos cuyos lectores medios sólo conservan la obra unas horas.

Lo curioso es que cuando a la letra impresa se le ha unido la radio, el cine, la televisión, etc. este emergente mundo audiovisual también habla, filma y emite para una “audiencia media” con la obsesión para lograr “medias altas” de audiencia,…

La expresión “medios de comunicación” es francamente sorprendente: ¿sólo explican la mitad? ¿se ponen en medio del receptor y el emisor? ¿son recursos para comunicar realmente algo?… lo que resulta evidente es su clara vocación por grandes medias de audiencia de receptores medios. Esto es la cultura media del hombre medio de nuestro tiempo.

 

Vivencias matrimoniales

Cuando los jóvenes conocen a su “media naranja” son muy atentos y gustan de bailar el famoso tango de Carlos César Lenzi con música de Edgardo Donatto que tiene lugar en corrientes tres cuatro ocho

“Y todo a media luz
que es un brujo el amor
a media luz los besos,
a media luz los dos…
Y todo a media luz,
Crepúsculo interior
que suave terciopelo
la media luz de amor.

o cantar la conocida canción de Curley Williams “Half as much”.

Pero de la media naranja y el interés inicial por estar en casa se pasa a una obsesión por no estar, pasándose la gente media vida fuera de ella.

Cuando los maridos aparecen en el hogar, lo hacen de modo ostentoso colocándose en lugares inoportunos con vistas a no pasar desapercibidos. Por esto sus esposas les gritan aquello de “tu siempre te pones en medio” mientas sus maridos les explican lo mucho que han trabajado (dificultando el fregado del piso al sacar ollas de la cocina). Cuando los nervios hacen gala de presencia entonces se pasa del comentario anterior al imperativo “¡quítate de en medio!”. a partir de esta orden el diálogo puede degenerar en una discusión del tipo “la que debe quitarse de en medio es tu madre” o si tu secretaria no se hubiera puesto de en medio todo esto no sucedería”… situación que acaba o con un crucero “al sol de media noche” o con una análisis de letrado sobre “división en dos de bienes gananciales y propiedades”. Es triste que algo que empezó con un susurro de “tu eres mi media naranja” acabe con un exigente alegato “la mitad para mi la otra mitad para ti. Yo me quedo la casa y los niños de 28 y 32 años se quedan conmigo. Deberás abonarme la mitad de su sueldo”.

 

Las divisiones justas entre dos

En el libro de los Reyes (Capítulo 3) se glosa la sabiduría y prosperidad del rey Salomón (3:16/3:28) y aparece una bonita historia según la cual Salomón decide con acierto a quien pertenece un niño tras la amenaza de dividirlo en dos mitades y “repartirlo” entre las dos mujeres que lo reclaman. La renuncia de una de las madres a su mitad hace que Salomón pueda reconocer en ésta a la madre verdadera.

La división de un bien entre Prometeus y Zeus constituye también una referencia clásica de la mitología griega.

Hoy en día los algoritmos de reparticiones (“divide y vencerás”) tienen enorme interés. Para el caso de divisiones justas entre dos simplemente se aplica el estupendo principio de

Uno divide y el otro elige

Y en casos concretos tiene sentido la división física de bienes homogéneos (pasteles, terrenos,…) o las divisiones, vía valoraciones económicas, de bienes heterogéneos (coches, casa, velero,…) pero todas las divisiones justas requieren de cierta sagacidad.

 

Divide y vencerás

Poco podría esperar yo que con el nuevo mundo informático mi importancia se viese catapultada al estrellato. Por ejemplo, el famoso algoritmo “divide y vencerás” (14.000 entradas en Google) se basa en aplicar recursivamente la técnica de descomponer problemas en subproblemas hasta lograr soluciones finales integrando las soluciones de los subproblemas. Dicho algoritmo facilita rebajar el tiempo computacional, siendo la búsqueda de dicotomías esencial para aplicar el algoritmo. Y esto vale para un simple problema de ordenar números a un problema complejo ligado a una aplicación real. Un bonito ejemplo es el siguiente. Si debemos “adivinar” un número entre 1 y 8 y podemos hacer ocho preguntas, la cuestión es muy fácil ¿Pero realmente se necesitan 8? La pregunta “¿Está entre 1 y 4?” determina ya a cuatro candidatos, por ejemplo, 1, 2, 3, 4 en cuyo caso la cuestión “¿Es menor o igual que 2?” fija un subconjunto de dos candidatos… ¡3 preguntas son suficientes!.

 

El papel DINA

La división del sistema DINA se basa en papeles rectangulares de proporción √2 y en el hecho productivo de que la hoja mayor DINA0 tenga superficie 1m2. Esta aparición de un problema con solución irracional se debe al hecho de que se ha impuesto que al dividir cada hoja de la serie por su lado largo salga otro de la serie (de igual proporción). El protagonista no es pues √2 sino yo 1/2.

 

El árbol genealógico

Cuando ustedes se hacen un árbol genealógico con las fotos o los nombres de sus ancestros ¿se han fijado que cada generación es la mitad de la anterior? Dos padres, cuatro abuelos, ocho bisabuelos,… ¿Y cómo es que cada vez hay más gente? ¡Es un tema interesante!.

 

Dividir bien en mitades

Gracias al análisis dispongo hoy de un seguro de vida.

Teorema del sandwich. Fijada una dirección el plano de la mesa y colocado en ella un sándwich cualquiera siempre puede cortarse en dos partes de igual peso y volumen por un corte recto de un cuchillo realizado en la dirección dada.

En efecto, marquen la recta r, tomen una referencia cartesiana con r como eje de ordenadas, piense en el sándwich y para cada posición el cuchillo paralelo a r consideran la correspondiente recta paralela x=k. La función f(x), dada por la diferencia de áreas a la izquierda y la derecha de la recta perpendicular a (x,0), es continua, negativa en cierto punto a y positiva en cierto punto b. Por tanto existe un punto c entre a y b donde f se anula… y este c da la solución.
¡Lástima que se sepa la existencia pero no como hallar c en general!.

 

Las medias de los taxistas

Como saben, dos puntos A y B determinan un segmento y todos los puntos P de éste están entre “medio” de los extremos: la suma de sus distancias a ellos es igual a la longitud del segmento:

d(A,P)+d(P,B)=d(A,B).

Cuando A y B son puntos reales de una ciudad el panorama cambia radicalmente. Entre A y B hay casas, coches aparcados, parques, logos, etc. ¿Pensó Euclides que todos ustedes eran Superman, Spider o Batman? Si la realidad tiene semáforos o direcciones la cosa aun es peor. El abono de un taxi no tiene nada que ver con la “distancia euclidea” para personas invisibles. Pero la distancia del taxista lo resuelve

d((a,b),(c,d)) = |a-c| + |b-d|.

Estar “entre dos puntos” A y B es entonces estar en el rectángulo con diagonal AB.

 

Las estrafalarias medias estadísticas

Cuando ustedes se ven superados por los datos se contentan con calcular la media aritmética… y lo que obtienen son resultados de difícil interpretación ¿se han fijado que el número medio de piernas por persona en esta ciudad es menor que dos? Y que por tanto pueden inferir que “la mayoría de ciudadanos tiene más piernas que la media”… ¡Increíble!.

Curiosamente se consideran a los datos “desviados” respecto de mi (y por esto se calcula la desviación típica) y en el caso de que hay dinero de por medio pasan de la “media” a hablar de “esperanza”. Luego la esperanza es siempre una media.

 

Mi vida probabilística

Ningún otro resultado probabilística es tan modesto como yo. Si algo se espera con probabilidad ¼ se confía en que no pasará. Si el suceso tiene probabilidad ¾ es muy posible que ocurra… pero si la probabilidad es ½ la duda corroe. ¿Si o No? ¿Par o impar? ¿Cara o cruz? ¿Chico o chica?. Me encanta ver como mi presencia crea un mar de dudas. Pero a veces hay problemas sutiles en relación a situaciones equiprobables.

Problema. En un sobre usted tiene 10€ y sabe que en sendos sobres cerrados alternativos hay 20€ en uno y 5€ en otro ¿Es buena estrategia cambiar su sobre actual eligiendo uno de los otros dos?

Hay quien lo medita calculando la esperanza E de la ganancia: si no se cambia ésta es E=10 pero si se cambia pasa a ser E=20·1/2 + 5·1/2 = 12,5… luego vale la pena cambiar. Pero también puede razonarse así: en un cambio la ganancia sería 5€ y en el otro caso -10€ luego el promedio esperable en un cambio es de 2,5€, siendo prudente no cambiar el sobre ¿Cuál es el argumento correcto?.

 

Riemann mon amour

Mi gran amor en el siglo XIX fue Georg Friedrch Bernhard Riemann (1826-1866) un elegante joven profesor al que yo fasciné, dedicándome su mejor conjetura.

La función zeta de Euler viene dada como suma o producto:

dos numeros tres historias de amor

Resulta esencial esta función para estudiar precisamente el enigmático problema de la distribución de primos en la recta real. Por ello Riemann conjeturó que como función compleja con soluciones complejas, dichas soluciones debían tener todas parte real ½. Así se ha visto en millones de ejemplos pero la conjetura de Riemann constituye hoy uno de los grandes problemas matemáticos pendientes de resolución.

 

Bienvenido Mister 5

Por motivos muy diversos que no entraremos a detallar, o me he visto involucrado en unos extraños procesos por los cuales los docentes en lugar de dar explicaciones claras a sus estudiantes sobre lo que estos saben o dejan de saber, recurren a métodos indirectos en los que los chicos y chicas rellenan papeles o tests, luego estos papeles deben ser corregidos por el profesorado, culminando la corrección con la asignación de números o letras y dando lugar a un resultado final (número o letra) que supuestamente es auto-explicativo para el estudiante sobre su éxito intelectual. Es muy común usar la escala entre 0 y 10, donde el 0 tiene un significado muy claro, el 10 también,… pero luego aparecen todos los reales (¡con decimales!) entre 0 y 10. Y, en particular la nota media, la nota central,… la mitad de 10: mister 5, el famoso aprobado. El problema es semántico, y ahí estoy yo en el ojo del huracán.

¿Medio examen perfecto es un aprobado? Saber la mitad ya es suficiente? ¿Resolver todos los problemas a medias ya elimina materia? Este debe ser un punto clave para los evaluadores. A veces se cae en ridículas discusiones sobre la cercanía al 5 pero lo que es peor es el cálculo estadístico de la nota media de la clase: se pasa de un acto evaluador individual a un análisis de resultado global, haciendo acto de aparición la milagrosa campana de Gauss (ley normal) sobre la distribución de notas. Las notas medias retratan a la mayoría. El profesor Antivi ha publicado su libro sobre “la constante macabra” que corresponde a aquel tanto por ciento de aprobados (y suspensos) que cierto profesorado puede “ajustar” después de corregir, es decir, “imponer” la ley normal en la distribución de notas para lograr resultados que resulten “estándar”. La evaluación es muy importante pero las perversidades evaluadoras deberían ser superadas.

 

Díganme que me aman aunque no sea verdad

Creo que por hoy, este monólogo ya es suficiente. Otro compañero aguarda. Me gustaría haberles trasmitido la idea de que los números como yo tenemos no solo una vida eterna sino que es tremendamente activa. Tenemos nuestras alegrías y nuestras penas. ¿Ustedes saben la envidia que me tiene el 8/17? Pero yo se lo he dicho muchas veces “aunque estés cerca de mí no es lo mismo”.

En nombre de los racionales muchas gracias por su atención y… ¡que sean felices!

Cordialmente,
Un medio.

 

Versos: “A ti divina proporción” de Rafael Alberti

A TI, maravillosa disciplina,
media, extrema razón de la hermosura
que claramente acata la clausura
viva en la malla de tu ley divina.
A ti, cárcel feliz de la retina,
áurea sección, celeste cuadratura,
misteriosa fontana de mesura
que el Universo armónico origina.
A ti, mar de los sueños angulares,
flor de las cinco formas regulares,
dodecaedro azul, arco sonoro.
Luces por alas un compás ardiente.
Tu canto es una esfera transparente.
A ti, divina proporción de oro.

Autobiografía del número e

¡Hola! Yo soy e, número real con nombre, aunque sea breve. Estoy en todos los sitios pero atiendo en Buenos Aires, Avenida Santa e al 2781. Agradezco a Claudi Alsina que me dé hoy la oportunidad de presentar mi sorprendente autobiografía. Así pues debo empezar por el principio. Pero en esta vida todo es complicado así que de principios hay dos, aunque la cantidad de principios depende de ustedes. En efecto, si son ustedes creacionistas Dios creó los números y dejó que la Humanidad los fuera descubriendo. Si son ustedes evolucionistas el Homo Sapiens evolucionó de los primates y por necesidades fue construyendo su mundo numérico. Desgraciadamente, en cualquiera de los dos casos los números tuvimos que enfrentarnos a una larga espera de millones de años para empezar a tener vida o contenido. Todo fue un proceso muy, muy lento.

En el último millón de años ustedes los humanos (ya sean descendientes de Adán y Eva o primates evolucionados) tardaron 978.000 años en empezar a hacer algún garabato o pictograma. No obstante algo debían tener estos trazos pues luego fue preciso esperar 22.000 años hasta que Picasso los volvió a hacer. En estos 22.000 años de arte rupestre hay que esperar 17.000 hasta que aparecemos nosotros, los primeros números, para contar ganado y sacos de grano. Podemos cifrar pues en unos 5.000 años nuestras primeras apariciones mesopotámicas. Las letras tardaron aún muchísimo más.

Desde que hubo vegetación y lianas en la selva y desde que se empezaron a colgar cosas desde dos puntos (cadenas, papirus, etc.) apareció ante los ojos humanos la catenaria y con ella yo. Allí he estado siglos y siglos esperando que algunos de estos ojos humanoides llegaran a verme. Otros colegas tuvieron más suerte y se las ingeniaron para aparecer muy pronto.

 

Un alumbramiento difícil

El calculista Napier tras realizar durante años millones de operaciones dio luz en 1618 a una publicación con un apéndice, debido a Oughtred, que constituye la primera tabla de logaritmos. No tenían ni idea de mi, ni del concepto de función,… sólo una obsesión enfermiza por calcular más rápido las multiplicaciones y divisiones. Seis años después Briggs da el valor de log10e sin conocerme. Y evidentemente yo no podía manifestarme y gritar ¡Hola! ¡Estoy aquí!. Me habrían preguntado “¿Pero que número es usted?”. ¡Ja! Y entonces debería haber dicho: “soy un pobre número que espera ser descubierto”, “soy un número abandonado que no tengo ni nombre”… Sólo un calculista con un gran corazón hubiese podido aceptar a un número sin números ni nombre. Pero aún así el calculista me hubiese enfrentado a la pregunta clave “Chato, al menos tenés una definición ¿no?”… ¿Y entonces qué? ¿Yo debía replicar “de momento no tengo nombre y mi definición está pendiente…”. Como pueden ver mi situación no fue inicialmente especialmente brillante.

 

Una extraña relación con Pacioli

En 1494 apareció publicada la Summa de Arithmetica de Fray Luca Pacioli, un amante del número de oro famoso por haber acuñado para su numerito (1 + √5)/2 = 1,618 la desproporcionada calificación de “divina proporción”. Ya me dirán como este valor, solución trivial de una ecuación de segundo grado merece tal distinción.

Pacioli escribe en 1494 un texto misterioso donde asegura “que el número de años necesarios para doblar un capital puesto a interés compuesto es el número que resulta de dividir siempre el 72 por la razón del interés por 100”. Curioso. ¿Qué pagó el 72 a Pacioli para tener tal protagonismo? Notemos que si

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y nos metemos en la máquina del futuro, tomando logaritmos neperianos del año 1618 resulta:

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lo que para valores pequeños de r lleva a la aproximación

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lo cual hace ver que Pacioli se lo montó bien tomando 72 en lugar de 70 pues él trabajó con r=6.

Lo bonito del caso es que de alguna manera en 1494 ya estuviera “log 2” presente. ¿Conoció Napierr este resultado? Ni idea.

 

Un jesuita pasa de largo

En 1647 el jesuita Gregoire de Saint-Vincent (1584-1667) consideró el área bajo un trozo de hipérbola equilátera pero su objetivo principal fue hacer con regla, compás y dicha hipérbola el dibujo de los segmentos a1/3 y a2/3 que resolvían para a=2 la duplicación del cubo. Fue una lástima que Saint-Vincent no relacionara la hipérbola con el logaritmo y por tanto conmigo.

Tuve que esperar hasta 1661 para que Christian Huygens (1629-1695) visualizara esta relación y se aproximase sin saberlo a la función logarítmica vía la curva y = kax y a log10e. Yo correspondo al punto que hace posible que el área por debajo de la hipérbola entre 1 y yo sea la unidad. Ojo ésto no lo hace el 10 sino yo. Y por ello se llamó “natural” al logaritmo de base yo. Hoy se llamarían “bio-logaritmos” o “logaritmos ecológicos” o vaya a saber como.

En 1618 Nicolaus Mercator (nada que ver con el de los mapas) en su obra Logarithmotechnia da un desarrollo de log (1+x) y usa el adjetivo natural por primera vez.

Los logaritmos fueron durante décadas elementos tabulares. Sólo con Leonhard Euler, James Gregory, Johann Bernoulli, etc. surge la idea de función y con ella el logaritmo y la exponencial como funciones básicas.

 

Ya soy un límite

Y llega 1683 y salgo a la luz gracias a Jacob Bernoulli y a su obsesión por el dinero. El tio Jacob siempre estuvo interesado en el interés compuesto. Aunque él no tuvo problemas con hipotecas ya intuyó que el tema económico sería siempre importante. Así mientras los logaritmeros iban a tientas, tío Jacob se enfrentó al cálculo de la sucesión

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viendo que esta iba irremediablemente a parar a un punto entre 2 y 3. Ni yo sabía que de hecho el límite de esta sucesión de números era yo. Imaginen si uno es un desconocido y no sabe bien quien es, lo que le pasa a alguien que busca a alguien pero no sabe a quien. ¡Pobre tío Jacob! Ni por un momento sospechó que sus cuentas crematísticas tenían algo que ver con lo que estaban haciendo los logaritmeros. Mi primera definición pués se la debo a tío Jacob y auque él ni tan siquiera me dio nombre me hizo el favor de que fuera yo el primero de los números definidos como límite de una sucesión. En 1683 mi nombre hubiese podido ser “j” o “z” o “Ja” o “Jac”… ahora que lo pienso esto de “Jac” me hubiese gustado.

 

Un largo siglo XVII

Fue así como hasta 1683 todos estos chicos logaritmeros fueron pasando a mi alrededor, algunos rozándome, pero ninguno descubriéndome explícitamente. Una pena de muchachos. Muchos de ellos jóvenes e inteligentes pero cegados por la pasión de calcular más y mejor fueron pasando cerca del 2,71 pero sin atinar que muy cerca de allí un gran número estaba esperando ser descubierto.

Yo en mi sitio de la recta real cuando veía que un calculador de estos se iba acercando gritaba desesperado “¡Eh! Aquí. Párese y descúbrame”. Pero todos pasaron de largo. Casi todo el siglo XVII lo pasé como huelguista de la recta intentando captar la atención de esta saga de calculadores empedernidos… pero sin ningún resultado. Claro que a veces he pensado “¿Y si no se hubiesen fijado en mí?”. La situación hubiese sido francamente incómoda.

 

Mi primer nombre es b

Aparezco ya como lo que soy, pero con el nombre “b”, en una carta que tío Leibniz envió a su colega Huygens el 1690. En 1697, Johann Bernoulli inició (¡ya!) el estudio de la “función exponencial”.

 

Papá Euler

Para Leonhard Euler yo ya era quien tenía que ser: un interesante número real, describible en términos muy diversos: como límite, como valor funcional, como integral, como serie… Pero antes de decidirse por un nombre o símbolo para mí, Euler fue muy precavido. ¿Y si yo era un fracción? Mi posible racionalidad ya me tendría completamente bautizado. Yo no lo era. Por esto resultó ser tan especial y complicado.

Al no ser fracción yo necesitaba una denominación novedosa. Y papá Euler decidió e. Y así lo comunicó a Goldbach en 1731.

“Claro, -han dicho muchos- con la e de Euler”. Y esto no está claro. Euler ya había usado la primera vocal “a” para otro número. Y no es verdad que yo sea “e” de exponencial. Pero tuve que acostumbrarme pues ¡era una denominación tan humilde!… una sola vocal y con minúsculas. ¿Por qué no fui E?. Claro que peor hubiese sido “u”, o “w” o en griego “ε” por sus connotaciones de pequeño y despreciable.

Mi bautizo con una sola letra vocal me ha creado a mí multitud de problemas al descubrir la ingente cantidad de cosas que se llaman “e” y que nada tiene que ver conmigo. ¿Por qué se llama e la línea del Subte de Buenos Aires de Plaza de los Virreyes a Belgrano y Bolivar? ¿Por qué todos los “mails” de Internet han de llamarse e-mails? ¿Por qué al entrar e en Google salen 6.330.000.000 de entradas? E-bay, e-mexico, e-journal, e-gold,… ¿Mercedes Benz Clase E? ¿Por qué la excentricidad de las cónicas es e? ¿Por qué Einstein escribe E=mc2 usando E para energía? En fin ¡paciencia!.

 

Mi primer libro

Fue papá Euler quien me dedicó (1748) el primer libro donde mis múltiples gracias se presentan “Introductio in Analysis infinitorum”. Con paciencia infinita (el tuvo 13 hijos terrenales) calculó mis primeros 18 decimales, una puesta de largo para uno como yo:

e=2,718281828459045235…

resultando ser

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Llegó la navidad y yo pedí a Santa Claus una fórmula. Y la fórmula llegó en forma de sorpresa

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algo extraordinario, junto al prestigioso π, al misterioso y loco i, y los básicos 0 y 1.

Papá Euler no pudo sospechar que años después Ramanujan descubriría la igualdad

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…¡casi entera!.

En 1864 Benjamin Peirce descubrió la misteriosa relación

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Pi es mi vecino. Lo tengo a 43 centésimas, Pero nunca pude sospechar que él tan ligado al cálculo acabaría estableciendo curiosas relaciones con una exponencial como yo.

 

Mis queridos decimales

Por alguna razón que desconozco y que solo el marketing explicaría, los calculadores de Pi han sido más y más diligentes que los míos. No fue hasta 1954 que Shanks se planteó calcular mis primeros 200 decimales y lo logró al segundo intento pues en le primero cometió un error tras el lugar 137, necesitando para ello 120 términos de la serie que me define. Lo sorprendente es que Glaisher tuviera la paciencia de repasar y corregir las cifras de Shanks. Ello demuestra que los humanos pueden invertir esfuerzos en cosas un tanto insólitas. En 1984, Boorman llegó al decimal 346 pero solo le coincidió el cálculo con el de Shanks hasta el 187… en fín desde entonces ha llovido mucho, la computación actual ha llevado ya a miles y miles de cifras, lo cual no deja de ser sorprendente para mí.

 

Trascendente como Pi

Habiendo ingresado en el club de los irracionales debía averiguarse si yo pertenecía a los de la plebe (los intrascendentes) o al distinguido círculo de los trascendentes como lo era Pi. Los de la plebe son soluciones de ecuaciones con polinomios a coeficientes enteros. Pues bien, Charles Hermite en 1873 aseguró mi trascendencia. Es curioso que aun hoy no se sabe si ee es trascendente o no. Yo estoy seguro pero estos chicos numéricos (que apostarían seguro toda su fortuna por ello) siguen con su habitual intranquilidad de que “si no hay demostración no se sabe”.

 

Y además… probabilística

De Moivre mirando datos probabilísticos discretos, Laplace mirando medidas de errores en mediciones y Gauss (1809) analizando datos astronómicos, se toparon, como no podría ser de otra manera, conmigo. Todos aquellos que predijeron mi desaparición con la superación de los logaritmos, quedaron estupefactos. La famosa curva de la campana de Gauss que muestra la distribución normal de datos (muchos cercanos a los valores medios y disminuyendo los resultados más alejados)… necesitaba de mi presencia y de Pi para su cálculo (f(x) = e-x2 / √2π)… todo un honor.

 

Mi tecla querida

Y ya en épocas con calculadoras acabo instalado en una tecla de lujo. Naturalmente no estoy en esas calculadoras elementales y baratas, sino en todas las superdotadas. Es así como estoy en escaparates de grandes almacenes y tiendas especializadas, de la mano de las multinacionales de la tecla científica.
Así pues ya lo sabe. Siempre que me necesite solo tiene que avisarme.

Trascendentemente suyo,

e
Firmado: e

 

Fragmento de la “Oda a los números” de Pablo Neruda

“Para ti solo quiero
que aquellos
números del camino
te defiendan
y que tú los defiendas”

¿Y la tercera historia?

De acuerdo con el título de esta conferencia ya hemos relatado dos autobiografías. En ellas hemos podido ver el interés de los números por todos nosotros. ¿se han fijado lo pacientes que son esperando nuestro progreso? Parece claro que no funcionan solos. Nosotros los necesitamos a ellos pero ellos también nos necesitan a nosotros.

Y falta, por que así el título lo ha prometido, la tercera historia de amor. Pero afortunadamente no soy yo quien debe explicarla. La tercera historia de amor no es la biografía de ningún número. La tercera historia de amor es la suya. Es la historia de todos ustedes cuando cada día, con renovado esfuerzo e ilusión, comparten su particular viaje al Paraíso Numérico con sus chicos y sus chicas. Es la historia de todos ustedes cuando luchan con los problemas olímpicos buscando soluciones. Es la historia de las familias que creen en la educación de las nuevas generaciones.

La tercera historia de amor es nuestra. La tercera historia de amor es esperanza en un mundo mejor a través de nuestras queridas matemáticas. La tercera historia de amor es nuestra entrega para hacer posible una educación imaginativa y creativa.

¡El Paraíso Numérico existe! está en su mente y en su corazón. ¡Gracias por compartir este paraíso con los demás!

Y como siempre:

“La Matemática rigurosa se hace con la mente,
la Matemática hermosa se enseña con el corazón”

¡Gracias!