A la memoria de Paolo Abrantes

El concepto más básico de las Matemáticas es el de igualdad. Un “4” es un número; “2+2” es una anotación; “2+2=” ya es una tarea, y “2+2=4” ya es un resultado. Este signo = representa una relación fundamental, sin la cual no habría ni teoremas, ni problemas,… ni Matemáticas. La denominación “Ciencias Exactas” y la reconocida “exactitud” matemática se basa esencialmente en la forma rigurosa de poder dar sentido a la igualdad. Pero, como saben, todo en esta vida es muy claro, hasta que uno empieza a profundizar.

El objetivo de esta conferencia es compartir con ustedes un viaje al mundo de la igualdad, viendo los muy diversos significados que el “igual” tiene en la vida y en la propia matemática, los errores y dificultades didácticas que aparecen en las aulas debido a los diferentes conceptos de igualdad escondidos detrás de un mismo signo. Desearía que la visita que sigue a los “iguales” les pueda servir en su labor diaria para dar una mejor ATENCIÓN A LA IGUALDAD.

 

IGUAL LINGÜÍSTICO

Los Diccionarios que en teoría son fuentes clarificadoras sobre el sentidoy el significado de las palabras acostumbran a poner en evidencia la enorme confusión lingüística que existe (lo que los de letras denominan riqueza del lenguaje) La palabra igual y sus expresiones relacionadas sirven de testimonio para apreciar este hecho. Consideremos, por ejemplo, una descripción usual de “igual”:

Que tiene en común todas las características, la apariencia, la esencia o una determinada cualidad o magnitud. Que son muy semejantes

Se trata, obviamente de una afirmación ligera donde caben identificar como iguales dos fiestas mayores, dos vinos de igual graduación, dos mesas del altura 75 cm y dos Santos cualesquiera (“la esencia…”).

Junto al adjetivo igual aparecen una multitud de palabras asociadas:

igualar, igualador, igualable, igualación, igualitario, igualdad,…

y usos muy diversos de gran calado social: para buscar confianza (“te hablo de igual a igual”), para desprestigiar (“todo le era igual”), para buscar complicidades (“pensamos igual”), para aniquilar comparaciones (“tiene un vestido igual al mío”) o para vender oportunidades idénticas (“cuarenta iguales para hoy”), etc.

El “igual” también está en las canciones. En “Little Boxes” de Malvina Reynolds la gente va a la Universidad donde son colocados en cajas, “cajitas todas iguales”; en el espiritual negro “We shall not be moved” resulta que “No, no, no / no nos moverán / Igual que un pino junto a la ribera / No nos moverán”… y en el roc de Sopa de Cabra suena el “Todo queda igual”. Pero sin duda la canción más emblemática es la de Julio Iglesias “La vida sigue igual”, un himno para conservadores.

 

IGUAL PERSONAL

Cada uno de nosotros mantiene viva la convicción de ser siempre “el mismo”. Aunque el espejo demuestre a diario las pequeñas desigualdades físicas con el día anterior, la fotografía pone en evidencia la no igualdad con uno mismo a lo largo de la vida. Las piadosas consideraciones como “estás igual que antes” son sentencias protocolarias, no ajustadas a verdad. Así pues, no somos ni iguales a nosotros mismos.

 

IGUAL FAMILIAR

Existe un enorme repertorio de recriminaciones matrimoniales basadas en el concepto “igual”. Basta recordar el “llegas tarde, igual que siempre”, el famoso “a ti todo te da igual”, el “igual que tu familia”… y en relación a las tareas domésticas el “¿acaso no somos iguales? Pues que cada uno haga lo suyo”. La “igualdad” entre hombre y mujer a efectos laborales, familiares, etc. es hoy un tema clave.

 

IGUAL SOCIAL

Todas las personas están contentas de ser diferentes respecto a los demás. Ser un ejemplar único, sólo igual a sí mismo, es algo deseable. Aunque acabamos de ver que no somos ni iguales a nosotros. Por eso últimamente todo lo de la clonación está a debate.

Sorprendentemente, esta cualidad de ser diferentes

No hay ninguna persona igual a otra

lleva a nivel social al descubrimiento o la reivindicación de criterios de igualdad. Los que gustan de ser ejemplares únicos colocados ante las instituciones reclaman criterios de igualdad. Pero inmediatamente surgen sospechas sobre si esta igualdad será realmente posible. Dice la voz popular

Todos los hombres son iguales, pero algunos son más iguales que otros

y el proverbio chino de turno es cauteloso al respecto:

Mientras no se piden favores, todos los hombres son iguales

Otros intelectuales han sido más contundentes. Así H. Balzac ya sentenció:

La igualdad puede ser un derecho, pero nadie puede convertirlo en un hecho

y en forma más drástica J. F. Frazer dice

No hay doctrina más falsa e insidiosa que la igualdad natural de los hombres. La experiencia de la vida cotidiana claramente la contradice

Como veremos inmediatamente esta situación tiene enormes repercusiones en otros conceptos de igualdad.

 

IGUAL RELIGIOSO

Si buscan en la Biblia, la expresión “igual” es la gran ausente. Así en el Génesis verán que

Creó Dios al hombre a imagen suya, a imagen de Dios lo creó… Dios creó al hombre a semejanza suya…

Y al pasar del creacionismo inicial a la reproducción normalizada:

Adán engendró un hijo a imagen y semejanza suya…

4 eludiendo con ello un compromiso sobre la igualdad y dejando el asunto interpretable.

No obstante, en el discurso actual de las iglesias se sostiene la reivindicación de igualdad ante Dios, aceptando que quizás dicha igualdad no se dé en la Tierra, asegurando no obstante su vigencia en el cielo.

Por esto el grupo Viva la Gente, de clara vocación religiosa, hizo famosa la canción cuya gran conclusión era

…todos somos iguales a los ojos de Dios

conclusión difícil de conjugar con las jerarquías eclesiásticas, los procesos de beatificación y santidad, etc.

 

IGUAL POLÍTICO

En el “arte de lo posible” la igualdad ha sido siempre un ideal revolucionario, una utopía de referencia. Bien resumido en el grito de la revolución francesa

Libertad, Igualdad, Fraternidad

Se supone que en las sociedades democráticas debe favorecerse una cierta igualdad ante la ley, ante las actuaciones de los gobiernos, en una participación universal en elecciones (“un hombre, un voto”)… pero la propia concreción política matiza este concepto generalista de igualdad. Los impuestos no se calculan igual para todos, los votos para sacar un diputado no son los mismos en diferentes lugares geográficos, etc.

El equilibrio de la balanza, símbolo de la igualdad ante la ley, es un icono especialmente sugestivo.

 

IGUAL PRODUCTIVO

Producir cosas idénticas en serie, base de la industria actual, constituye un gran problema técnico: ¿cómo asegurar que el gusto de una bebida es siempre el mismo? ¿cómo garantizar que todas las tostadas son iguales? ¿cómo lograr que un licor o cava tengan un gusto peculiar? ¿cómo fabricar juguetes iguales? ¿no hay productos iguales con precios diferentes? ¿soniguales dos bebidas con caducidades diferentes?…

También dentro del mundo de la igualdad de productos puede ser interesante el que aparezcan pequeños detalles diferenciadores. Piensen en las características de los coches, la personalización de las motos Harley o la muñeca Col, única en su clase.

 

IGUAL MATEMÁTICO

El símbolo = fue introducido en 1557 por Robert Recorde (1510 – 1558) en su obra The Whetstone of Witte (no apareciendo de nuevo hasta 1618) y substituyó a las expresiones del tipo (“aequales”, “aequantur”, “esgale”, “faciunt”, “gheljck”, “gleich”, etc. que hasta el siglo XVI se usaron para indicar la igualdad. Recorde justificó su propuesta del símbolo = con el siguiente argumento:

I will sette as I done often in woorke use, a paire of parralles, or Gemowe lines of one lengthe, thus: ==, because noe 2, thynges, can be moare equalle.

¡Curioso! Recorde usa en el propio símbolo de igual la “igualdad” de los dos segmentos paralelos.

En la propia construcción formal de las Matemáticas, precedida siempre de la Lógica que rige su fundamentación, se considera esencial partir de la noción de pertenencia (aεA) y de la igualdad conjuntista A=B según la cual tanto A como B deben tener los mismos elementos. Así un conjunto sólo se identifica a sí mismo y a lo sumo lo que se plantea es que, ante posibles representaciones diferentes de los elementos constitutivos

igualdad

se acabe identificando uno a uno los elementos presentes

igualdad

La igualdad matemática no deja margen al error, no admite pequeñas diferencias ni se apiada del sujeto comprobador cuando los conjuntos son infinitos. Como muy bien observa Jorge Wagensberg

Demostrar que dos objetos o dos sucesos son iguales es una proeza infinita pero basta topar con una simple diferencia para demostrar que son distintos. Buscar diferencias entrena la observación y buscar semejanzas entrena el entendimiento.

Las relaciones de equivalencia y sus clasificaciones asociadas son los recursos básicos para formular las diferentes clases de igualdades matemáticas.

Desde el punto de vista de la lógica clásica el punto esencial es la identificación de proposiciones según los valores de verdad o falsedad.

El desarrollo actual de la Lógica Borrosa, en donde se manejan grados de verdad en el intervalo [0,1], ha permitido tratar conjuntos borrosos y grados de pertenencia en [0,1], lo cual da lugar a diferentes teorías de la distinguibilidad entre conjuntos. Estas teorías modelizan mejor que las clásicas, problemas de clasificación (clustering), de reconocimientos de formas, de inteligencia artificial, etc.

 

IGUAL ARITMÉTICO

Me gustaría compartir con ustedes unos resultados didácticos recientes sobre el problema de las diferentes interpretaciones que los niños y niñas de primaria dan al signo igual. La diferencia más actual es:

Seo, K-H y Ginsberg, H.P., “You’ve got to carefully read the math sentence…”: Classroom context and Children’s interpretations of the equals sign” (161-187) en Baroody, A.J., y Dowker, A., (editores) The Development of Arithmetic Concepts and Skills. Constructing Adaptative Expertise”, Lawrence Erlbaun Associates, New Jersey, 2003.

La raíz del problema está en que los escolares a menudo identifican las matemáticas como “un intento de obtener respuestas correctas manipulando símbolos”, con unos procesos mecánicos sin ningún tipo de conceptualización que subyazca a la simbología, ni ningún recurso de justificación que permita cerciorarse de los resultados alcanzados.

Los mismos escolares reciben informaciones dispersas y contradictorias sobre la igualdad que provienen del libro de texto, del profesorado, de los cuadernillos o fichas, de la familia, del contexto social, etc.

De acuerdo con Seo y Ginsberg la mayoría de escolares tienen los siguientes problemas con el signo “=”:

  • El signo = es identificado como una orden, una acción a realizar, como si “=” fuese equivalente a “la respuesta es”, “hace”, “resulta”,… es decir el “igual” se vé como “operador”.
  • El signo = se asocia “al final del proceso”, al cálculo definitivo del resultado;
  • Lo que precede al signo = y, lo que sigue al mismo, son dos apartados vistos diferentemente. Si la lectura “5+3=” induce a la respuesta “8”, la descomposición “8=” (8=5+3) se considera otro tipo de problema.
  • El signo = aparece en operaciones “horizontales” pero no existe en las versiones “verticales”o “laterales” de los algoritmos habituales.
  • El signo = no siempre se relaciona con el contexto apareciendo entonces confusiones y errores, por ejemplo en medidas, monedas,…(180º=π rad; 1€=1.1$; 1 km2=106m2,…).Evidentemente la igualdad debe ser explícitamente trabajada, en contextos diversos y no sólo como signo formal, introduciendo otros símbolos complementarios, distinguiendo los resultados de las descomposiciones, etc.

 

IGUAL ALGEBRAICO

Ya en niveles superiores las dificultades con el signo igual aumentan pues cada vez son más los significados distintos simbolizados por el mismo signo. Veamos siete ejemplos:

  • Igualdad universal entre variables
    Este es el caso de (a+b)²=a²+b²+2ab, igualdad válida para todos los números reales.
  • Igualdad para definir la dependencia entre variables
    Así la función y=x² define una parábola o en general y=f(x) define una función, variando x en su dominio.
  • Igualdad para resolver ecuaciones
    Si x²-x-1=0 estamos proponiendo “la búsqueda” de los valores de x que puedan hacer posible la validez de la igualdad.
  • Igualdad de resultados sin posibilidades de dar valores a las variables
    Así en
    igualdadni la t ni la x, son variables substituibles.
  • Igualdad dada en forma funcional pero de interpretación numérica
    Sería el caso de (x²)’=2x que da las pendientes de las tangentes a y=x² en los diferentes puntos (x, x²) pero donde las variables no son substituibles por valores.
  • Igualdades que se establecen sin corrección contextual
    Corresponde por ejemplo al error del volumen de la lata de bebida de 0,25 l, πr²h=0,25, igualdad absurda al tener en consideración las unidades.
  • Igualdades que llevan a algunas soluciones absurdas
    Así x2-1=0 lleva a las soluciones +1 y -1 pero una de ellas puede ser absurda (por ejemplo si se buscaba una medida x el valor -1 no es posible)
    Ya lo observó K. Menger: “en el análisis de las dificultades para aprender matemáticas se ha mirado en todas las direcciones posibles menos en lapropia simbología matemática que es la fuente principal de errores”.

 

IGUAL GEOMÉTRICO

Un punto clave en el estudio de la Geometría es, precisamente, el de la clasificación de figuras vía transformaciones. Siguiendo a Felix Klein, cada Geometría se caracteriza precisamente pos sus invariantes, por aquellos conceptos que quedan inalterables (formas, distancias, ángulos, paralelismos,…) bajo la acción del grupo de transformaciones que se considere. La igualdad geométrica estricta no tiene interés especial, interesan las equivalencias, las transformaciones.

En cada caso (métrico, equiforme, proyectivo, topológico,…) tendremos unos “criterios de igualdad”. Conservar la posición es muy poco interesante, conservar la forma lo es. Admitiendo que en contextos físicos o aplicados pueden interesar casos que la geometría no considera: tres bolas de billar pueden ser iguales pero su posición es vital para los jugadores. El peso o la textura de figuras reales no son de consideración geométrica pero sí de interés aplicado.

 

IGUAL MEDIDA

Temas que deberían merecer especial atención didáctica son los de igualdades que involucran longitudes, áreas, volúmenes, etc. No sólo es importante trabajar bien los diferentes sistemas de medidas y unidades evitando cálculos “abstractos” sino que es importante remarcar aquellas transformaciones que cambian o conservan las medidas. Manipulando tangrams o puzzles se conserva la igualdad de área pero proyectando una transparencia no.

Las distribuciones estadísticas “iguales” o las de probabilidades, también merecen ser trabajadas. ¿Cuándo dan las simulaciones (por ejemplo con tablas de números aleatorios) “iguales” resultados?.

 

IGUAL ALUMNADO

Este es un mito docente de grandes consecuencias. En casos severos afecta al profesorado que, indiferente al momento, puede llegar a creer que todos los grupos son siempre iguales y dentro de cada grupo, todos los/as alumnos/as son idénticos.

La denominada atención a la diversidad nos invita a mirar cada grupo y en él cada estudiante, de forma singular. Alejarnos de la magistralidad grupal para plantearnos un trabajo personalizado.

 

IGUAL PROFESORADO

La diversidad de profesorado es también un problema para los alumnos, pero puede ser un factor muy positivo. Cada uno con su manera de mirar el mundo, con su personalidad, abriendo ventanas, apuntando horizontes, contribuye a la formación. Sería muy triste un profesorado clónico, eficiente en técnicas pero perdiendo el factor personal, la humanidad de cada uno y el sentido de este obligado oficio.

 

EPÍLOGO

En esta conferencia hemos elegido un concepto muy básico como es el de la igualdad. Nos gustaría haber puesto en evidencia como este concepto se vé, poliédricamente, desde puntos de vista muy diversos. Creemos que las lecturas transversales de temas es una experiencia interesante. Y hemos intentado ver que la propia noción de igual en matemáticas es compleja, puede crear confusiones y merece especial atención didáctica.

Con una enseñanza interesante lograremos que el alumnado tenga igualdad de oportunidades en su vida futura. Y todos nosotros aun compartiendo el mismo objetivo de formar bien, debemos encontrar en nuestras diferentes personalidades la forma más apasionada de compartir este viaje por el universo matemático. Muchas gracias por hacer posible que este viaje sea igual de interesante cada día.

Claudi Alsina Català
Sec. Matemàtiques – ETSAB
Unvi. Politècnica de Catalunya
Avda. Diagonal 649. 08028 Barcelona
e-mail: claudio.alsina@upc.es