Esta conferencia les invita a plantearse un reto insólito: saber unir a la formación matemática el desarrollo simultáneo de un verdadero amor hacia las matemáticas, esperando que de este amor se derive en el futuro una larga y sólida relación.

1. Cupido es de letras

En tiempos muy lejanos el amor tuvo rango divino. El dios Eros en Grecia y el dios Cupido en Roma fueron los encargados de velar por el amor. Con el tiempo “los dioses del amor” dieron paso, en todas las religiones, al “amor a Dios” y a plantear como gran objetivo humano el recibir y prodigar amor.

En nuestras vidas terrenales coexisten categorías muy diversas de amor: el amor egoísta a uno mismo (amor propio); el amor generoso a los demás (amor filial, amor paterno, amor materno,…); el amor escondido (amor platónico); el amor rápido (amor a primera vista); el amor temerario (amor libre, amor a ciegas,…); el amor formal (amor de pareja); el amor a zonas geográficas (amor a la patria, amor a la playa,…); el amor sin reloj (amor eterno); el amor a diversos conceptos (amor a la libertad, amor a la paz,…); el amor a actividades muy concretas (amor al ajedrez, amor al estudio, amor a la pintura,…); el amor a estimulantes (amor al vino)… e incluso el amor a la ruina (por amor al arte).

Diversas disciplinas humanísticas estudian los rasgos filosóficos, históricos, literarios o artísticos del amor. Múltiples ramas científicas, desde la psicología a la sexología, intentan descubrir explicaciones racionales o fisiológicas a las diferentes manifestaciones amorosas, desde la locura de amor deprimente al problema de hacer el amor frecuentemente.

No es pues de extrañar que ante tal protagonismo social del amor se organice un colosal supermercado de poemas de amor, películas de amor, canciones de amor, cartas de amor, etc. que resulte interesante tanto a las personas más ascéticas y románticas como a los sátiros y “voyeurs” más exigentes.

 

2. Amor… sí y sólo sí…

Lo sorprendente del asunto es que difícilmente encontraran en este mundo amoroso referencias al amor a las matemáticas. Aunque el mercado del amor haga uso de las matemáticas para promocionarse (“más que ayer, menos que mañana”) o para describir situaciones atípicas (“triángulo amoroso”) resultan más frecuentes las situaciones de desamor matemático (odio, ira, recelo, desconfianza, aburrimiento,…) que las de pasión. Se puede entender que ante un enamoramiento súbito sea más normal regalar a la persona amada un libro de poemas románticos que no los “Elementos de Euclides” según edición facsimil del s. XVI. Pero es más difícil de entender que exista el “amor al salto de trampolín” y nadie declare su “amor a las funciones derivables“. Por todo lo expuesto hemos considerado oportuno dedicar esta conferencia al profesorado de matemáticas para presentarles el TEOREMA DEL AMOR y su demostración completa.

Lo que intentaremos es obtener un enunciado del tipo:

“El profesorado logrará que sus estudiantes amen a las matemáticas sí y sólo sí…”

Para hacer esto posible empezaremos dando unas condiciones previas, que nos iran aproximando, sucesivamente, a intuir el enunciado final y a dar una demostración completa.

 

3. Siete lemas imprescindibles

Empezaremos con el siguiente:

 

LEMA 1. El amor a las matemáticas requiere partir de unos conocimientos mínimos interesantes.

Demostración. Por reducción al absurdo.

En efecto, no buscamos una cita a ciegas con las matemáticas sino un amor que surja de un conocimiento inicial digno de generar primero interés y luego deseos más nobles. En este caso la matemática inicial debe ser especialmente bella y atractiva.

Ejemplo: El millón

Existe un interesante material americano para trabajar en el nivel elemental cifras grandes, en concreto, un millón. Pueden plantearse cuestiones del siguiente estilo:

(a) ¿Donde tenemos los millones?

(b) ¿Cuanto tardaría en escribir su nombre completo un millón de veces?

(c) ¿Cuántas páginas de una novela contienen un millón de caracteres?

(d) ¿Cuánto se tarda en “decir” todos los nombres de los números entre uno y un millón?

En el caso (a) las medidas nos permiten ser millonarios (1m³=1000000cm³) y en los otros casos surgen resultados sorprendentes para obtener los cuales hay que hacer modelos que faciliten las cuentas.

 

LEMA 2. El amor a las matemáticas requiere el placer de descubrir

Esto nos lo demostró Pólya: enseñar es hacer posible que cada uno experimente el placer de descubrir por sí mismo la potencia matemática.

Ejemplo: ¿Cuál es el mínimo número de cortes para separar n-cuadraditos de una tira de papel cuadriculada?

Ante este interrogante (James Tanton) se impone tener cintascuadriculadas de papel, tijeras y empezar a experimentar los primeros casos. Si la tira tiene n cuadraditos y f(n) es el mínimo número de cortes enseguida descubriremos la tabla de valores

el teorema del amor

dado que podemos “combinar cortes con apilamientos”… nace así la función f(n)=[log2n] donde [z] indica el menor entero mayor o igual que z (para pasar del “descubrimiento” a la justificación es suficiente verificar por inducción la anterior igualdad).

¿Cuál es el mínimo número de cortes para separar nxm-cuadraditos de un rectángulo nxm cuadriculado?

Cortar, apilar, hacer tiras,… [log2n]+[log2m].

¿Cuál es el mínimo número de cortes de cuchillo para dividir un ortoedro nxmxp de cubitos?

De nuevo, ahora en el espacio, combinar cortes con apilar y descubrir… [log2n]+[log2m]+[log2p]

¿Cuál es el mínimo número de cortes de cuchillo para dividir un cubo de 100x100x100 en un millón de cubitos?

Según lo anterior precisamos solo de 3[log2100]=21 cortes (!)

 

LEMA 3. El amor a las matemáticas requiere sorpresas

El mundo matemático depara grandes sorpresas: sorpresas sobre matemáticas, sorpresas sobre los objetos básicos (números, funciones, cuerpos,…) , sorpresas sobre soluciones geniales, sorpresas sobre resultados inesperados, sorpresas docentes,… las sorpresas cautivan, captan la atención, intrigan… y por tanto contribuyen a apreciar el encanto matemático.

Ejemplo. Los sorprendentes unirepes

Considere los números naturales cuyos dígitos son todos iguales a launidad (unirepes): 1, 11, 111, 1111,… y elévelos al cuadrado. Entrará en el mundo de los capicúas singulares:

1.111.111.111²=12345678900987654321

Son, francamente, entretenidos.

 

LEMA 4. El amor a las matemáticas requiere aplicaciones a un contexto actual

Los ejemplos actuales y cotidianos de aplicaciones matemáticas son esenciales para poder apreciar la importancia de la disciplina, para poder ver que más allá de la especulación abstracta, la matemática presenta un claro interés social para el progreso científico, tecnológico y cultural.

Ejemplo. Doble y mitad

En las grandes superficies de alimentación podemos plantear la compra de productos que tengan versión doble (en peso, en capacidad, en volumen,…) y discutir los precios que nunca son “aditivos”… Y doble luz o mitad de luz al hacer una foto,… y doble superficie pero no doble longitud al hacer fotocopias ampliadas… y doble número de antecedentes en cada generación de abuelos, bisabuelos,… y “doble probabilidad” de ganar el gordo al adquirir dos décimos de Navidad,…

 

LEMA 5. El amor a las matemáticas requiere hacer ensayos y experimentaciones

Tal como ya dijo Antoine de Saint-Exupery “Hay que mirar mucho para llegar a ver”. Imágenes, visualizaciones dinámicas, modelos, maquetas,… y todo tipo de materiales pueden permitir hacer ensayos y experiencias sobre los cuales basar el aprendizaje.

Ejemplo. Tres ejercicios con una hoja de papel

Los siguientes ejercicios se basan todos en una simple hoja de papel DIN A4.

(a) Realizar un “agujero” en la hoja de papel por el cual cualquiera pueda pasar;

(b) En un DIN A4 recortar el cuadrado mayor posible. Repetir la operación con el nuevo rectángulo. ¿Cómo es el rectángulo sobrante?

(c) ¿Cómo debe hacerse un agujero en una hoja de modo que formando el cilindro agujereado resultante de pegar los lados largos, pueda encajar en el agujero otro cilindro de igual tamaño?

 

LEMA 6. El amor a las matemáticas requiere actividades divertidas y emocionantes

Sentir emociones y divertirse son condiciones imprescindibles en el camino hacia el amor.

Ejemplo. Carta de amor a Francisca

Este tipo de cartas las he compartido con miles de maestras que, como Francisca hace años, siguen ejerciendo hoy su gran labor… sin esperar nada a cambio. Ni tan siquiera una carta. Francisca me enseñó a mi los primeros números, las letras y a leer. Hoy comparto con ustedes la lectura de esta carta a la cual Francisca ya nunca tendrá acceso.

Querida Francisca,

Poco podía imaginar usted, y menos yo, que muchos años después de estar juntos en clase yo le iba a dirigir esta carta insólita desde la tribuna pública de una conferencia de matemáticas. Los años han pasado y en este momento desconozco si usted vive una avanzada vejez o nos dejó ya hace tiempo. En el mejor de los casos aunque la encontrara frente a frente en la calle, yo no la reconocería. A usted le ocurriría lo mismo, nunca podría identificar aquel chico de los años cincuenta conmigo. Ya lo vé Francisca, nuestro mutuo reconocimiento sería, hoy, imposible.

Ahora miro hacia atrás y puedo apreciar lo importante que fué todo aquello. Su lucha por la aritmética, sus letras bordadas en la pizarra. Aquel 2 de formas suaves y aquella T mayúscula impresionante. Y aquellas sesiones de lectura torpe, de frases que para usted eran siempre las mismas. Y usted con su infinita paciencia, nos hacía hacer lecturas extras durante los recreos, nos regaló puntos para animarnos, nos perdonó infinitos murmullos y nos aguantó en aquella aula sin patio… incluso cuando llovía.

¡Tanto que tuvo que luchar para que todos nosotros pudiéramos empezar a aprender algo!. Le gustará saber que hoy en día, personas de poca memoria hablan del “gran nivel” que nuestra generación tenía. Paradójico ¿verdad?

Pero el motivo central para dirigirle hoy esta carta es para remediar algo que solo con el paso del tiempo he podido descubrir: nunca nadie de nosotros le dió jamás las gracias por toda su labor. Abandonábamos rápidos las aulas con la cartilla de notas cuando el verano llegaba, o nos íbamos a otras clases ¡Rápido! ¡Rápido!… no hubo nunca tiempo para quedarse tres segundo quietos, darle un beso y decirle ¡gracias!. Hoy quiero hacerlo. Gracias Francisca por su trabajo. Gracias por el 1, 2, 3,… Gracias por el a, e, i, o, u. Aquí en la tierra, o quizás en el cielo, Francisca, gracias por su amor en forma de clase. ¡Hasta siempre!. Claudi

 

LEMA 7. El amor a las matemáticas requiere participación activa

El amor matemático difícilmente nace desde la pasividad. Hay que buscar complicidades, compartir experiencias, buscar la participación activa. Para ello nada mejor que las canciones, el baile, la música, los ejercicios fuera del aula,… la comunicación. Les recomiendo especialmente a los de primaria cantar las tablas, en inglés y con música.

Ejemplo. Canciones y decimales

Una actividad que ha nacido en webs japonesas es la de crear melodías a partir de números, pasando de los dígitos básicos a las notas:

1….DO – 2…RE – 3…MI – 4…FA – 5…SOL – 6…LA – 7…SI – 8…DO – 9…DÖ – 0…-

Consideren las melodías asociadas a los siguientes decimales:

(a) 0.333333333333333333333333333333333…

(b) 0.123123123123123123123123123123123…

(c) 0.451676767676767676767676767676767…

(d) 0.123456789123456789123456789…

(e) 0.123456789101112131415161718192021…

(f) 1.618033988749894848204586834365638…

(g) 3.141592653589793238462643383279502…

Las melodías de los racionales (a), (b), (c), (d) son auténticas canciones de verano: tarda más o menos pero cuando aparece el estribillo este se repite indefinidamente. El número (e) que “contiene a todos los números” es ya una melodía infinita; el (f) es una melodía divina y el (g) el número pi, muy armonioso acústicamente.

 

4. El teorema del amor

Con los lemas previos estamos ya en condiciones de intentar el asalto al teorema buscado:

Teorema del amor.
El profesorado logrará que sus estudiantes amen a las matemáticas sí y sólo sí logra compartir conocimientos, descubrimientos, ensayos, experimentos, diversiones, emociones, sorpresas, aplicaciones y actividades.

 

Y ahora nos “ocuparemos” de su demostración.Demostración. Los lemas 1, 2, 3, 4, 5, 6 y 7 que hemos establecido anteriormente han probado la necesidad de todas las condiciones estudiadas.

Sólo falta pues, probar el recíproco. Afortunadamente para todos, para verificar que las siete condiciones dadas son suficientes… disponemos de toda nuestra vida docente. Si, esta es una demostración viva y abierta que se construye desde el entusiasmo, desde la ilusión, desde la entrega, desde el irrenunciable objetivo de seducir matemáticamente a cada uno de nuestros estudiantes. Si un día este teorema pudiera ser formalmente probado, nuestra labor dejaría de tener sentido.

¡GRACIAS POR HACER POSIBLE QUE ESTA DEMOSTRACIÓN NO SE ACABE NUNCA!

La Matemática rigurosa se hace con la mente… la Matemática hermosa se enseña con el corazón.

Claudi Alsina
claudio.alsina@upc.edu