Geometría y realidad

“…el objetivo de la educación
matemática debe ser producir
ciudadanos educados y no una pobre
imitación de una calculadora de 30$”
K. Devlin

Educar geométricamente es un objetivo docente clave cuya finalidad debe ser facilitar el conocimiento del espacio tridimensional, desarrollando con ello la creatividad y los procesos de matematización.

Siguiendo las ideas del proyecto PISA (Jan de Lange y otros) deberíamos prestar especial atención al desarrollo de grandes competencias o habilidades como son el pensar matemáticamente, saber argumentar, saber representar y comunicar, saber resolver, saber usar técnicas matemáticas e instrumentos y saber modelizar. Aprender a modelizar es saber estructurar el contexto, matematizar y reinterpretar los resultados de esta matematización, revisar el modelo, modificarlo, etc.

Pero no debemos olvidar que el objetivo de enseñar todas estas habilidades debe ser el poder trabajar las grandes ideas como son cambio, crecimiento, espacio, forma, azar, dependencia, relaciones, razonamiento cuantitativo,… son este tipo de grandes ideas las que deberán delimitar el tipo de instrumentos matemáticos a poner en juego y por ello encontraremos siempre en la Geometría una fiel aliada para conseguir estos objetivos.

Este planteamiento, que es tan claro, parece sin embargo ser conflictivo pues desde hace años el tema de la Geometría, aceptado por todos como tema importante, no acaba de encontrar su lugar en el desarrollo efectivo de los cursos. Y lo que es más sorprendente, la educación geométrica va empeorando a medida que se avanza en los niveles educativos, planteándose la paradoja de ser más sobresaliente, en términos relativos, el nivel geométrico en la educación infantil que en la universitaria.

En una reciente publicación de 1999, Toshio Sawada ha resumido muy bien el problema

De acuerdo con los datos internacionales, hay buenas oportunidades en la enseñanza de la aritmética, álgebra y medidas pero no en geometría, probabilidad y estadística.. Además, en álgebra, como más oportunidades da un país a los estudiantes mejores son los resultados de los estudiantes, pero en geometría parece no haber relación entre oportunidad de aprender y resultados. Parece que todos los países/sistemas están confundidos sobre los contenidos y el método de la enseñanza de la geometría.

Aunque desde hace años venimos intentando contribuir a la presencia y la modernización de la Geometría, parece ser que aún son necesarios mayores esfuerzos para facilitar que una buena enseñanza geométrica se abra camino, no en los curricula de papel donde ya está, sino en las aulas. Este es el motivo de esta ponencia que no es en absoluto “constructivista” pero si aspira a ser “constructiva”.

¿QUÉ ES LA REALIDAD?

“¿Cómo crear contextos adecuados para
poder enseñar matematizando?…
necesitamos problemas matemáticos que
tengan un contexto significativo para los
estudiantes”
H. Freudenthal, 1983

El “mundo real” significa el entorno natural, social y cultural donde vivimos. Y desde las Matemáticas deseamos educar para que las personas puedan beneficiarse de la cultura matemática para actuar, lo mejor posible, en este mundo real que es su mundo. Actuar a nivel personal, social y profesional tanto en el presente inevitable como en el futuro previsible.

Así pues estamos hablando de hoy (año 2000) y de aquí (España) y por tanto no debemos admitir como “realidad” cualquier contexto o llamada a una supuesta realidad que en verdad es simple ficción. Debemos actuar como dice M. Niss

…sin disfrazar o camuflar problemas sino buscando su autenticidad

Muy a menudo tenemos una tendencia a falsear la realidad creando una ficción en la cual es “la realidad” la que se pone al servicio de la matematización y no al revés. Pero además en el terreno educativo deberíamos tener especial sensibilidad para restringir la realidad matematizable a los casos que puedan ser de interés para el alumnado.

En particular si se asume la idea de tomar la resolución de problemas como motor educativo, será preciso combinar bien lo que son los referentes reales y lo que es poner en juego las estrategias de resolución.

Obsérvese el siguiente ejemplo famoso:

La ley del movimiento de un cuerpo está expresada por la función e=t⁴-3t³+2t². Halle en qué intervalos de tiempo el móvil avanza en un sentido o en otro.

¡Inadmisible! Aunque aparentemente aparece un contexto físico de cuerpo-móvil (¿es un robot? ¿es una manzana?) se nos da una función gratuita sin ningún sentido físico (si t se da en segundos ¿…en qué se mide e?).

Obsérvese otro ejemplo

Una ventana tiene forma de cicloide. Calcule la superficie del cristal

¡Horror! Nunca nadie hizo una ventana cicloide…

Todo ello nos lleva a la necesidad de elegir problemas más relevantes, con más significado y contexto. Un bonito ejemplo del proyecto Pisa es el problema:

Ha conducido su coche y ha recorrido ya dos terceras partes del camino. El tanque de la gasolina estaba lleno al empezar y ahora le queda un cuarto de depósito. ¿Tiene algún problema?

¡Magnífico! Aunque no existe referencia explícita al coche, al lugar, etc., el problema plantea una cuestión interesante y realista… y además está formulado para obligar a pensar un poco.

Es importante elegir problemas interesantes y en contextos adecuados.

En las tres tablas siguientes ejemplificamos correspondencias entre polígonos, poliedros, curvas, superficies y transformaciones geométricas con situaciones cotidianas.

POLÍGONOS Y POLIEDROS EN LA REALIDAD
FIGURA	EJEMPLO 1	EJEMPLO 2	EJEMPLO 3
TRIÁNGULO	Instrumento musical	Señal tráfico	Señal avería
CUADRILÁTERO	Hoja papel	Loseta	Galleta
PENTÁGONO	Puntas de los dedos	Logo Chrysler	Nudo de servilleta
HEXÁGONO	Perfil plato	Sección lápiz	Loseta
OCTÁGONO	Perfil bandeja	Estrella vientos	Mesa granadina
POLIGONO ESTRELLADO	Estrella de mar	Estrella de David	Llanta de rueda
n-POLÍGONO	Puntos horas reloj	Logos comerciales	Sec. Columnas Gaudí
CUBO	Dado	Cubito caldo concentrado	Caja regalo
TETRAEDRO	Tetra Pack ®	Puzzle 3D	Trípode
OCTAEDRO	Talla diamante	Estructura mesa	Barrilete 3D
ICOSAEDRO	Dado 20-caras	Logo MAA	Cúpula
DODECAEDRO	Contenedor papel	Puzzle 3D	Dado 12 caras
PRISMA	Chocolate Toblerone	Prisma Hexagonal Pastelería	Caja Chanel nº 5
PRISMATOIDE	Obelisco	Caja cartón	Pedestal
PIRÁMIDE	Pirámide egipcia	Embudo industrial	Final obelisco
BIPIRÁMIDE	Peonza	Dedos contra dedos	Joya
POLIEDROS SEMIREGULARES	Pelota de fútbol	Joya	Puzzle
POLIEDROS ESTRELLADOS	Lámpara cristal	Joya	Estrella árbol Navidad
ORTOEDRO	Tetra Brick ®	Pastel	Cajetilla Marlboro
ANTIPRISMA	Jarrón	Vaso	Patas mesa

CURVAS Y SUPERFICIES EN LA REALIDAD
FIGURA	EJEMPLO 1	EJEMPLO 2	EJEMPLO 3
RECTA	Lado papel	Hilo tenso	Cuerda con plomada
CIRCUNFERENCIA	Perfil plato	Perfil vaso	Moneda
ELIPSE	Perfil sombrero	Líquido en vaso inclinado	Perfil cepillo
PARÁBOLA	Arco A. Gaudí	Mano cerca oreja	Arco con tirantes puente
HIPÉRBOLA	Perfiles (6) punta lápiz hexagonal	Perfil campana	Arco hiperbólico Construido
SINUSOIDE	Gráfico altura mar	Movimiento serpiente	Techo Uralita ®
CATENARIA	Cadena reloj de mano	Hilo tren	Hilos eléctricos
CICLOIDE	Trayectoria punto rueda	Cuenco	Péndulo cicloidal
ESPIRALES	Cinta cassette	CD-musical	Rollo fotográfico
HÉLICE (3D)	Escalera caracol	Muelles	Hilo en cilindro
PLANO	Papel	Mesa	Suelo
ESFERA	Perla	Pelota ping-pong	Planeta Tierra
ELIPSOIDE	Pelota rugby	Cúpula (1/2)	Huevo Pascua
CONO	Punta de lápiz	Colador (chino)	Vaso
CILINDRO	Lápiz redondo	Rollo de papel	Olla
PARABOLOIDE	Antena TV	Faro coche	Cúpula
PARABOLOIDE HIPERBÓLICO	Silla de montar a caballo	Cubiertas F. Candela	Cubiertas A. Gaudí
HIPERBOLOIDE (1H)	Campana	Papelera	Chimenea (C. Térmica)
HIPERBOLOIDE (2H)	Espejo hiperbólico	Espejo telescopio	Trenza cortada
TORO	Donut	Anillo	Cadena

TRANSFORMACIONES Y REALIDAD
TIPO	EJEMPLO 1	EJEMPLO 2	EJEMPLO 3
TRASLACIÓN 2D	Dibujar 1 recta	Dibujar un friso	Huella de rueda
GIRO 2D	Agujas reloj	Rotor en motor	Punta de compás
SIMETRÍA 2D	Escritura espejo	Letras impresor	Caleidoscopio
SEMEJANZA 2D	Fotocopias	Fotografías	Plano
AFINIDAD 2D	Cambio lineal escalas	Apertura salvamanteles	Sombra plato
PROYECTIVIDAD 2D	Perspectiva	Foto de cubo	Sombra en foto
HOMEOMORFISMO 2D	Estirar goma	Mueca facial	Deformación Photosop ®
TRASLACIÓN 3D	Andar recto	Aspiradora	Cortar pan
ROTACIÓN 3D	Mover puerta	Tambor lavadora	Girar llave
SIMETRÍA 3D	Mirar espejo	Apariencia cuerpo	Aplaudir
MOV. HELICOIDAL 3D	Escalera caracol	Sacacorchos	Atornillar
SEMEJANZA 3D	Maqueta arquitectura	Tren eléctrico (1:169)	Casa muñecas (1:12)
AFINIDAD 3D	Cambio lineal escalas	Plegado de caja	Mover tienda campaña
PROYECTIVIDAD 3D	Perspectiva dibujo 3D	Foto de 3D	Mirar vías de tren
HOMEOMORFISMO 3D	Ajustarse calcetín	Deformar globo	Ponerse guantes
CONSERVAR AREA PERO NO DISTANCIA	Plegar sábanas	Abrir un libro	Prensar
CONSERVAR VOLUMEN PERO NO DISTANCIA	Amasar harina	Hacer masa pizza	Bailar
EFECTOS ESPECIALES	Retocar fotos	Mezclar imágenes	Digitalizar
PROYECCIONES RARAS	Espejo cilíndrico	Espejos deform.	Sombras chinas
TRANSFORMACIONES RARAS	Romper foto	Quemar foto	Hacer caricatura

MODELIZACIÓN MATEMÁTICA Y GEOMETRÍA

“El contexto puede ser la vida cotidiana,
cultural, científica, artificial, matemático, etc…
los problemas del mundo real serán usados
para desarrollar conceptos matemáticos…
luego habrá ocasión de abstraer, a diferentes
niveles, de formalizar y de generalizar… y
volver a aplicar lo aprendido… y reinventar la
matemática…”
Jan de Lange

Una completa e interesante descripción general de la modelización matemática ha sido dada por Henry O. Pollak (“Solving Problems in the Real World” en el libro de L.A. Steen (Ed.) Why Numbers Count: Quantitative Literacy for Tomorrow’s America. The College Board, New York, 1997):

Cada aplicación de la matemática usa la matemática para evaluar o entender o predecir algo que pertenece al mundo no matemático. Lo que caracteriza a la modelización es la atención explícita al principio del proceso, al ir desde el problema fuera del mundo matemático a su formulación matemática, y una reconciliación explícita entre las matemáticas y la situación del mundo real al final. A través del proceso de modelización se presta atención al mundo externo y al matemático y los resultados han de ser matemáticamente correctos y razonables en el contexto del mundo real.

También H.O. Pollack ha descrito muy minuciosamente los ocho pasos que deben darse en la modelización matemática y que recogemos en la tabla adjunta:

LAS OCHO ETAPAS DE LA MODELIZACIÓN SEGÚN H.O. POLLACK

Se identifica algo en el mundo real que queremos conocer, hacer o entender. El resultado es una cuestión en el mundo real.
Seleccionamos “objetos” que parecen importantes en la cuestión del mundo real e identificamos las relaciones entre ellos. El resultado es la identificación de conceptos clave en la situación del mundo real.
Decidimos lo que consideraremos o lo que ignoraremos sobre los objetos y su inter-relación. No se puede tomar todo en cuenta. El resultado es una versión idealizada de la cuestión original.
Traducimos la versión idealizada a términos matemáticos y obtenemos una formulación matematizada de la cuestión idealizada. A esto lo llamamos un modelo matemático.
Identificamos los apartados de la matemática que pueden ser relevantes para el modelo y consideramos sus posibles contribuciones.
Usamos métodos matemáticos e ideas para obtener resultados. Así surgen técnicas, ejemplos interesantes, soluciones, aproximaciones, teoremas, algoritmos,…
Tomamos todos estos resultados y los trasladamos al principio. Tenemos entonces una teoría sobre la cuestión idealizada.
Ahora debemos verificar la realidad. ¿Creemos en el resultado? ¿Son los resultados prácticos, las respuestas razonables, las consecuencias aceptables?
(a)Si la respuesta es sí, hemos tenido éxito. Entonces el siguiente trabajo que es difícil pero extraordinariamente importante es comunicar lo encontrado a sus usuarios potenciales.
(b)Si la respuesta es no, volvemos al inicio. ¿Por qué los resultados no son prácticos o las respuestas no razonables o las consecuencias inaceptables? Seguramente el modelo no era correcto. Examinamos lo que pudimos hacer mal y porqué y empezamos de nuevo.

Así pues es interesante prestar atención al proceso de trabajar la realidad a través de ideas y conceptos matemáticos debiéndose realizar dicho trabajo en dos direcciones opuestas: a partir del contexto deben crearse esquemas, formular y visualizar los problemas, descubrir relaciones y regularidades, hallar semejanzas con otros problemas… y trabajando entonces matemáticamente hallar soluciones y propuestas que necesariamente deben volverse a proyectar en la realidad para analizar su validez y significado.

Cabe señalar que la investigación educativa ha puesto de manifiesto las grandes dificultades que el alumnado tiene en la verificación de soluciones: individuos que aprenden a resolver cuestiones son a menudo incapaces de decidir cuáles de los resultados hallados son relevantes para el problema propuesto. Seguramente esto debería inducirnos a prestar especial atención a este último pero importantísimo eslabón de la resolución de problemas.

En las tablas adjuntas podemos observar los apartados matemáticos ligados a Geometría (que según Joe Malkevitch nos deberían hacer replantear los temas a tratar bajo la denominación “geometría”. También hemos listado unas ejemplificaciones de aplicaciones (Alsina, Fortuny, Perez, 1997) y una tabla indicando los instrumentos matemáticos que peuden ponerse en juego al tratar temas geométricos.

Apartados matemático-geométricos

1. Geometría euclídea
2. Geometrías no-euclídeas
3. Geometría proyectiva
4. Geometría descriptiva
5. Geometría analítica
6. Geometría integral
7. Transformaciones geométricas
8. Teoría de la simetría
9. Teoría de mosaicos
10. Problemas en retículos
11. Teoría de grafos
12. Convexidad
13. Geometría discreta
14. Geometría de superficies
15. Poliedros
16. Teoría de la disección
17. Geometría diferencial
18. Geometría computacional
19. Teoría de empaquetamientos
20. Teoría de la rigidez estructural
21. Geometría digital
22. Teoría de nudos
23. Problemas isoperimétricos
24. Juegos geométricos
25. Curvas planas

26. Geometría métrica
27. Diseño VLSI
28. Teoría de códigos
29. Autómatas celulares
30. Cartografía
31. Robótica
32. Cristalografía
33. Sistemas dinámicos
34. Geometría algebraica
35. Programación lineal
36. Cónicas y cuádricas
37. Geometría n-dimensional
38. Geometría del espacio-tiempo
39. Visión computacional
40. Teorías de redes neuronales
41. Geometría fractal
42. Desigualdades geométricas
43. Geometría de inversión
44. Geometría de complejos
45. Visualización de datos
46. Construcciones geométricas
47. Modelización de sólidos
48. Origami
49. Teoría de catástrofes
50. Historia de la Geometría

Ejemplos de aplicaciones geométricas

Aplicaciones a la modelización matemática del mundo físico
Geodesia y triangulación
Aplicaciones en astronomía y mecánica celeste.
Cartografía (aérea, satélite, temática,…)
Cálculos de medidas (áreas, superficies, volúmenes)
Problemas comerciales (envasado, empaquetado, tallas, patrones,…)
Estructuras en ingeniería y arquitectura
Clasificación de nudos
Digitalización y manipulación de imágenes
Grafos e investigación operativa
Formas y transformaciones al servicio de la creación artística
Aplicaciones a la computación y gráficos por ordenador
Visualización de datos estadísticos
Procesamiento de imágenes, compresión y registro
Teoría de barras y engranajes
Aplicaciones en óptica, fotografía y cine
Elementos multimedia inter-activos
Codificación, descodificación y criptografía
Robótica: movimientos, visión, tareas automáticas
Descripciones cristalográficas estáticas y de conocimiento
Modelización de procesos dinámicos y caóticos
Doblado de papel, origami y empaquetado

MODELIZACIÓN GEOMÉTRICA: INSTRUMENTOS MATEMÁTICOS

Modelización vectorial: vectores, coordenadas, producto escalar, norma, distancia, ángulo, proyección, figuras, transformaciones,…
Modelización algebraica: vectores en coordenadas, matrices, sistemas de ecuaciones, determinantes, dependencias entre variables, cónicas y cuádricas, grupos de transformaciones.
Modelización métrica sintética: figuras, transformaciones, perímetros, superficies, volúmenes, ángulos, maquetas, disecciones, proyecciones, trigonometría,…
Otros instrumentos: axiomatización, modelos discretos, modelos computacionales.

Así pues podemos observar dos cosas especialmente interesantes:

La geometría abarca diversas ramas matemáticas relevantes para desarrollar procesos de modelización y labores interdisciplinarias.
La geometría permite poner en juego recursos matemáticos distintos y puede ayudar a ver en cada caso cual es el instrumento más adecuado.

UNA COLECCIÓN DE PROBLEMAS INTERESANTES

En nuestra aproximación al tema de geometría y realidad nos gustaría indicar ahora una pequeña muestra de problemas que resultan particularmente atractivos:

Algoritmos y cuentas (ATM)

Se tiene una fila de n personas sentadas. Pueden moverse (levantarse o sentarse) siguiendo las siguientes reglas:

La 1ª puede levantarse o sentarse sin depender de las demás;
La 2ª puede moverse si la 1ª está sentada;
La 3ª puede moverse si la 2ª está sentada y la 1ª está de pie;
La nª puede moverse si la (n-1)ª está sentada y las n-2 restantes de pie.

Indique un algoritmo para levantar una fila de n personas sentadas. Si a_n indica el número de movimientos para levantar una fila de n, relacione a_ncon a_n-1, a_n-2, a_n-3,… etc. ¿Cómo podría expresarse a_n en función de n?

División espacial (Pólya)

¿En cuantas regiones pueden llegar a dividir el espacio tridimensional cinco planos?

Localización óptima (Pólya)

Hay tres poblaciones A, B, C cuyas distancias conocemos ¿cuál es el punto P cuya suma de distancias a A, B y C resulta mínima?. Idear diversas estrategias para resolver este problema.

Sistema DINA para papel (Alsina)

Toda hoja DINA n al dividirse en dos partes por el lado largo da dos hojas DINA n-1 de igual forma, siendo el DINA 0 de 1 m² de superficie. Halle las medidas exactas del DINA 0, 1, 2, 3, 4
¿Qué factores actúan al fotocopiar reduciendo de una DINA 3 a un DINA 4? ¿Y al ampliar?

Los números f en fotografía (Alsina)

Los números f 1·4, 2, 2·8, 4, 5·6, 8, 11, 16,… se corresponden con el hecho de que cada número corresponde a una apertura del diafragma que permite el paso del doble de luz de la apertura anterior. Justifique los valores de dichos números

Originales e imágenes en fotografía (Alsina)

Dado un objeto O y su imagen I a través de una cámara de distancia focal F, si u es la distancia objeto-lente y v la de la lente a la imagen, se verifica 1/u + 1/v = 1/F y I/O=v/u.
Halle u y v en función de I, O y F. ¿Cuál sería la foto más grande que podría hacer de una joya circular de 1,2 cm de diámetro con una máquina de 30 cm de extensión máxima de fuelle y un objetivo de 10 cm de distancia focal?

Teorema del observador (Zeeman)

En un cuadro en perspectiva donde se representa un cubo con tres puntos de fuga existe un único punto en el espacio de delante del cuadro donde un observador debe colocar su ojo para ver perfectamente el cuadro. Justifique la validez de este teorema.

Un sistema de posición global (GPS) (White)

Sean tres satélites en posiciones S_i=(a_i,b_i,c_i), i=1,2,3 y sean P=(x,y,z) las coordenadas de un punto a localizar en la tierra. Verifique que si pueden darse las tres distancias de P a S₁, S₂ y S₃ (vía el tiempo de ida y retorno de una señal) entonces P queda completamente determinado.

Alimentación equilibrada

En una referencia cartesiana representará las proporciones de hidratos de carbono H, proteinas P y lípidos L, siendo L+P+H=100%. Represente la zona de la dieta equilibrada que corresponde a 10<=P<=20, 50<=H<=50 y 25<L<35.

Índice de masa corporal (Alsina)

El IMC (índice de masa corporal) viene dado por W/h² siendo W el peso (en kg) y h la altura (en m). Estudie la condición de equilibrio 20<=IMC<=25.

Movimientos cotidianos (Bolt)

Describa los movimientos geométricos de los aparatos e instrumentos que se hallan en una casa (reloj, libro, tijeras, caja, llave, sacacorchos,…).

Para los arquitectos “la tierra es plana” (Alsina)

Estudiar la diferencia entre la longitud de un trozo de arco terrestre ab y su aproximación lineal tangente (siendo el radio de la Tierra R=6371221 m).

Longitudes y latitudes (COMAP)

En el esquema tiene dos puntos A=(r,s), B=(u,v) con longitud y latitud como coordenadas terrestres. Al mirar desde A y B un punto S=(x,y) se miden los ángulos azimutales a y b relativos al Norte. Si A=(-120º24’19’’, 48º37’51’’) y B=(-120º31’59’’, 48º38’03’’), a=242º y b=198º calcule (x,y).

Sombras muy especiales (Alsina)

Construya un objeto cuya sombra pueda ser una sinusoide sin tener dicho objeto la forma de esta curva.

Rampas para parquings (Alsina)

¿Cómo construir una rampa de pendiente constante razonable alrededor de un edificio cilíndrico? ¿Cómo marcaría en la zona de aparcar las líneas indicando los lugares de aparcar?

Fabricando dados (Alsina)

¿Cómo fabricar dados para poder sortear cualquier número?

Geometría y cocina (Bolt)

¿Qué formas geométricas aparecen en los objetos usados para cocinas y que funciones cumplen?

La mancha de petróleo (Borrell).

Un barco con 3000 m³ de petróleo se hunde y provoca una mancha en el mar de forma “cilíndrica” siendo su espesor

t horas después del hundimiento. Acordonando la mancha 15 horas después del hundimiento, se añadan 0,5 m³ de un detergente por metro de perímetro de la mancha, valiendo el detergente 5 pesos por m³. Evalúe el coste de esta intervención.

Goles de penalty en fútbol (E. Fernández, J.F. Matos)

En el proceso de tirar un penalty en fútbol aparecen los siguientes parámetros:

Exprese usando trigonometría y principios básicos de física las relaciones existentes entre dichas magnitudes.

EL LABORATORIO DE GEOMETRÍA

Siempre hemos creído imprescindible que existan laboratorios específicos de Geometría con materiales adecuados. Aquí me gustaría recordar (Alsina et altri, 1990) algunas consideraciones sobre el material didáctico.

El material didáctico, juega un papel fundamental en la enseñanza-aprendizaje de la Geometría. Su correcta utilización constituye una importante baza en la adquisición de conceptos, relaciones y métodos geométricos ya que posibilita una enseñanza activa de acuerdo con la evolución intelectual del alumno. La estructura de laboratorio es un modelo pedagógico de utilización del material.

Un entorno –la Estructura del Laboratorio- emerge cuando el profesor y los alumnos trabajan y se comunican por medio de un plan conjunto de actividades de investigación, acorde con sus intereses, capacidades y habilidades.

Básicamente existen tres modos de organizar una tarea docente a partir de una estructura de laboratorio: El aula taller, como laboratorio fijo, la propia aula, como laboratorio móvil reorganizando periódicamente su espacio interior, y el trabajo de campo que tiene como escenario un gran espacio, ya sea urbanístico o natural. La situación más corriente es la de utilizar un laboratorio móvil.

Pensamos que en una adecuada dinámica de laboratorio, hay que tener siempre en cuenta, los siguientes aspectos:

Una introducción al tema, para situar al alumno.
Dar a conocer los objetivos, para enmarcar las acciones a realizar.
Una presentación de las investigaciones a realizar, adecuadamente graduadas por niveles de comprensión, en las que se induce a manipular, construir, observar, explicar y expresar conjeturas y descubrir distintas relaciones sobre el concepto a tratar.
Una discusión y contraste en gran grupo, para así enriquecer y comunicar los distintos descubrimientos realizados. En este momento el profesor actúa de moderador de cara a establecer conclusiones.
Realización y resolución de ejercicios de utilización y consolidación y de problemas de extensión y ampliación.

En la evaluación de esta forma de tarea docente, se tiene en cuenta: 1) La evaluación de los registros escritos y orales. 2) La observación del grado de participación e interacción de cada alumno en las muchas de las actividades de investigación propuestas.

Quisiéramos resaltar la existencia de software como Cabri II, Geometry sketch-pack y Kaleidomania! que hoy deberían integrarse en todos los laboratorios geométricos para temas de dibujo. Sin olvidar las calculadoras científicas de Cassio y de Texas Instruments que facilitan visualizaciones interesantes projectables de curvas y superficies.

Los videos como los de COMAP son especialmente sugestivos para poder ver aplicaciones y actualmente gracias a Internet podemos añadir una facilidad enorme que es la idea de laboratorio virtual donde efectuar visitas, dibujos, ver aplicaciones, etc. Las siguientes direcciones son especialmente interesantes:

http://www.fi.uu.nl
http://ww.comap.com
http://www-groups.dcs.st-and.ac.uk/~history/
http://www.hull.ac.uk/mathskills/
http://www.ntu.edu.sg/library/sgpacadR.htm
http://www.math.bme.hu/mathhist/Curves/Curves.html
http://www.museo.unimo.it/theatrum/macchine/_00the.htm
http://www.profes.net
http://www.leonet.it/culture/nexus/networkjournal
http://www.educ.msu.edu/mars
http://www-gse.berkeley.edu/Faculty/gsefaculty.ss.html#schoenfeld
http://www.kutzler.com/bk/m-events
http://www.geocities.com/CapeCanaveral/Launchpad/3740/history.html
http://www.geocities.com/CapeCanaveral/Launchpad/3740/euclid.html
http://www.ies.co.jp/math/java/pythagoras.html
http://www.cut-the-knot.com/pythagoras/index.html
http://www.lander.es/~lcjusto/pita_0.html
http://library.advanced.org/19029/quadprojects.html
http://www.cut-the-knot.com/triangle/altitudes.html
http://www.ies.co.jp/math/java/congruent.html
http://www.teleport.com/~tpgettys/poly.html
http://www.li.net/~george/virtual-polyhedra/vp.html
http://www.physics.orst.edu/~bulatov/polyhedra/spherical/index.html
http://sunsite.ubc.ca/LivingMathematics/Packages/CopyCat/
http://www.li.net/~george/virtual-polyhedra/art.html
http://www.li.net/~george/pavilion.html
http://www.li.net/~george/sculpture/sculpture.html
http://www.li.net/~george/chasey.html
http://www.users.csbsju.edu/~mwenning/
http://pubweb.acns.nwu.edu/~gbuehler/index.html
http://freeabel.geom.umn.edu/docs/reference/CRC-formulas/
http://members.xoom.com/dpscher/intcircles.html
http://members.xoom.com/dpscher/ladder.html
http://members.xoom.com/dpscher/triangle.html
http://www.best.com/~xah/SpecialPlaneCurves_dir/specialPlaneCurves.html
http://www-groups.dcs.st-and.ac.uk/~history/Curves/Curves.html
http://www.ies.co.jp/math/java/circles.html
http://www.ies.co.jp/math/java/elgear/elgear.html
http://www.cut-the-knot.com/pythagoras/cycloids.html
http://freeabel.geom.umn.edu/docs/references/CRC-formulas/
http://freeabel.geom.umn.edu/docs/reference/CRC-formulas/
http://www.aula-ee.com/aula/webs-alumnes/esfera/esfera.htm
http://www.uib.no/People/nfytn/mathgal.htm
http://www.cut-the-knot.com/do_you_know/paper_strip.html
http://www.cut-the-knot.com/do_you_know/moebius.html

A nivel personal hemos estado elaborando un web para facilitar una visita virtual a un laboratorio de geometría dedicado a la tridimensionalidad que podrá consultarse a través de mi servidor de la Universidad Politécnica de Cataluña y al cual quedan cordialmente invitados.

Hacia una cultura espacial

Para finalizar y enlazando con nuestra conferencia impartida en ICME-9 recientemente me gustaría indicar cuales son ocho consejos que me parecen especialmente relevantes para dar una cultura espacial, que es tal como se indicó al principio, el objetivo docente último de la geometría:

El pensamiento visual en tres dimensiones, clave en la cultura espacial, debe ser estimulado en todos los niveles
El sentido común espacial debe ser cultivado pues no es, necesariamente, una capacidad innata
La cultura espacial requiere romper la cadena 1D – 2D – 3D y superar dificultades técnicas para poder conocer el espacio de forma adecuada en cada nivel
La cultura espacial debe basarse en la realidad, explorando sus posibilidades y resolviendo problemas reales
La cultura espacial se enriquece con el uso de diversos lenguajes, tecnologías y modelos
La cultura espacial debe favorecer conexiones entre aspectos ambientales, históricos, artísticos, etc. fomentando la interdisciplinariedad
La cultura espacial permite promover el espíritu de la investigación en las clases de matemáticas
La cultura espacial debe proveer a los futuros ciudadanos instrumentos para desarrollar las habilidades espaciales y la creatividad

La Geometría quiere y debe estar en nuestras aulas. Se merece una buena oportunidad.

REFERENCIAS

Alsina, C., 1993, La Matemática de la Forma. MEC, Madrid.
Alsina, C., 1995, Una matemática feliz y otras conferencias Buenos Aires, OMA.
Alsina, C., 1998, Contar bien para vivir mejor. Editorial Rubes, Barcelona.
Alsina, C., 1998, Neither a microscope nor a telescope, just a mathscope, Proceed. ICTMA-1997.
Alsina, C.; Burgués, C.; Fortuny, J.M. (1990), Materiales para construir la Geometría, Ed. Síntesis, Madrid.
Alsina, C.; Burgués, C.; Fortuny, J.M.; Giménez, J.; Torra, M., 1996, Enseñar Matemáticas, Graó, Bacelona.
Alsina, C., 2000, Sorpresas Geométricas, Buenos Aires, OMA.
Alsina, C., 2000, La matemática hermosa se enseña con el corazón, Buenos Aires, OMA.
Alsina, C.; Fortuny, J.M., 1998, Fascinante Simetría, Pub. Museu de la Ciència, Fund. La Caixa, Barcelona.
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