Es un honor para mí, un medio, poder dirigirles la palabra y a través de ella poderles contar algunas de mis historias favoritas. Nosotros los números estamos encantados de serles útiles y ser usados continuamente pero también nos gusta, como a todos, poder explicar nuestras vivencias.

 

La Biblia y yo

De acuerdo con los relatos bíblicos cuando yo nací no estaban ni ustedes ni tan solo el Planeta Tiera. Ya en la primera página del Génesis (Capítulo 1: La Creación) aparezco implícitamente al ir creando Dios alternativas como día-noche, agua-tierra, luz-tinieblas, etc. No crea tres o cuatro, o quinientas clases de realidades sino que va delimitando de forma binaria todo aquello que existe. De forma explícita mi nombre literal aparece en el epígrafe 1:6:

La creación
1:1 En el principio creó dios los cielos y la tierra.
1:2 Y la tierra estaba desordenada y vacía, y las tinieblas estaban sobre la faz del abismo, y el Espíritu de Dios se movía sobre la faz de las aguas.
1:3 Y dijo Dios: Sea la uz; y fue la luz.
1:4 Y vio Dios que la luz era buena; y separó Dios la luz de las tinieblas.
1:5 Y llamó Dios a la luz Día, y a las tinieblas llamó Noche. Y fue la tarde y la mañana un día.
1:6 Luego dijo Dios: Haya expansión en medio de las aguas, y separó las aguas de las aguas.

Aparezco de nuevo en la dicotomía de ofrencas de Caín y Abel a Dios (4:3, 4:4) y en muchísimos otros pasajes donde las divisiones en dos mitades se multiplican: maldad-bondad, verdad-falsedad, etc.

 

El mundo de los medios

Es francamente curiosa la enorme cantidad de usos que a nivel de lengua se hace con mi nombre. A veces soy un adjetivo (“media naranja”), a veces soy un sustantivo masculino (“medio aristocrático”), a veces soy un sustantivo femenino (“una media de cerveza”), a veces vengo en plural (“necesitamos más medios”)… pero lo más grave es los muchos significados que hoy represento.

Ni que decir tiene, que es en los diversos significados matemáticos donde más cómodo me encuentro:

medio. m. Mat. 1. Quebrado que tiene por denominador el número 2 y por numerador el número 1 y representa a la unidad dividida en do partes iguales. 2. en el silogismo, razón con que se prueba algo. 3. cada uno de los términos segundo y tercero de una proposición.

medio. adj. Mat. 1. Igual a la mitad de algo. 2 Que está entre dos extremos, en el centro de algo o entre dos cosas. 3. Que está intermedio. 4. Que equidista de dos extremos.

y disponiendo de diversos apellidos ilustres designo en toda una serie de importantes operaciones a mi servicio (“promedio”):

media aritmética:
historia contada por un medio

media cuadrática:
historia contada por un medio

media geométrica:
historia contada por un medio

media armónica:
historia contada por un medio

media ponderada:
historia contada por un medio

media cuasi-aritmética:
historia contada por un medio

Para nosotros, los números, nuestro traje de domingo, de gala, son los símbolos. Hoy me presento en formas diversas:

historia contada por un medio

pero esto no ha sido siempre así. Los egipcios, por ejemplo, me ponían muy mono con un dibujo de una elipse alargada, como una boca, cubriendo dos palitos de unidades.

También aparezco hoy con decimales o, sorprendentemente, a través de otras funciones que han ido identificando conmigo.

historia contada por un medio

siendo mis igualdades favoritas las que usan entre numerador y denominador todos los dígitos del 1 al 9:

historia de un medio contada por él mismo

Los usos normales de mi nombre medio o mitad se encuentran en las ciencias:

en medio, en el punto mitad, el medio terrestre, el medio marino, el medio acuático, el arco de medio punto, media vuelta, medio ciclo, oído medio, onda media, término medio, medio físico, medio cultural,

Pero al entrar en mundos no científicos la cosa se desmanda.

Los de letras tanto me usan en relación a un extremo superior deseable o una esperanza:

medio asado, medio vestido, meterse de por medio, partir por en medio, mejorará a medias, media parte, media pensión, medias tintas, medias palabras, medio luto, media ciudad fue a pasear,…

como me usan en relación a un extremo inferior indeseable a una intuición precaria o desastrosa:

este chico es medio tonto, va corto de medios, comimos a medias, en medio de tanta pobreza, errtecho de medios, iremos a medias, se equivocó de medio a medio, lo quitaremos de en medio,…

A veces me dan un valor geográfico, de lugar:

en medio de la selva, la línea media de los futbolistas, en medio de la plaza,…

pero también sirvo para indicar tiempos, épocas, momentos:

Edad Media, media noche, medio día, medio tiempo, hacia mitad de siglo, vida media, las siete y media, a la media en punto…

y, sorprendentemente se me usa para indicar situaciones financieras:

poner los medios, por medio del dinero, medios aristocráticos, medios propios, la riqueza media,…

También mi significado se ha politizado:

Clase media, el ciudadano medio, la riqueza media del país,…

Y he estado abusivamente empleado para designar grandes grupos profesionales:

Medios de comunicación, medios de transporte,…

De los medios de transporte más vale no hablar: ¿se llaman así porque siempre se quedan a mitad de camino?, ¿es por ir colgados con medio cuerpo dentro y medio fuera?… Pero si que debemos hablar de los “medios de comunicación”.

 

Los medios de comunicación

Mientras las obras escritas fueron originales y con pocas copias manuales la escritura se hacía para aquellos que tuvieron la suerte de poseer el original o una copia, y todo tenía una cierta altura. Pero con Gutenberg la cosa degeneró. La imprenta permite olvidarse del original y distribuir muchas copias, siendo entonces los escritos dirigidos a muchos lectores potenciales. Lo del lector medio estaba cantado.

Para justificar los escritores que escriben para alguien (¡ya quisieran muchos tener un lector diferente al autor!) se ha inventado el “lector medio” que no es ni una lumbrera (cerraría el libro después del prólogo) ni es un imbécil (saber que se editan libros) pero es una persona “normal”. Sabe leer sin separar las palabras por sílabas, puede comprar algún libro, no acostumbra a prestar sus libros ni revenderlos (los guarda en un mueble), etc. Más triste es el caso de los periódicos cuyos lectores medios sólo conservan la obra unas horas.

Lo curioso es que cuando a la letra impresa se le ha unido la radio, el cine, la televisión, etc. este emergente mundo audiovisual también habla, filma y emite para una “audiencia media” viviendo la obsesión para lograr “medias” altas de audiencia,…

La expresión “medios de comunicación” es francamente sorprendente: ¿sólo explican la mitad? ¿se ponen en medio del receptor y el emisor? ¿son recursos para comunicar realmente algo?… lo que resulta evidente es su clara vocación por grandes medias de audiencia de receptores medios. Esto es la cultura media del hombre medio de nuestro tiempo.

 

Vivencias matrimoniales

Cuando los jóvenes conocen a su “media naranja” son muy atentos y gustan de bailar el famoso tango de Carlos César Lenzi con música de Edgardo Donatto que tiene lugar en corrientes tres cuatro ocho

“Y todo a media luz
que es un brujo el amor
a media luz los besos,
a media luz los dos…
Y todo a media luz,
Crepúsculo interior
que suave terciopelo
la media luz de amor.
o cantar la conocida canción de Curley Williams “Half as much”.

Pero el interés inicial por estar en casa se transforma en una obsesión por no estar, pasándose media vida fuera.

Cuando los maridos aparecen, lo hacen de modo ostentoso colocándose en lugares inoportunos con vistas a no pasar desapercibidos. Por esto sus esposas les gritan aquello de “tu siempre te pones en medio” mientas sus maridos les explican lo mucho que han trabajado (dificultando el fregado del piso el sacar ollas de la cocina). Cuando los nervios hacen gala de presencia entonces se pasa del comentario anterior al imperativo “¡quítate de en medio!”. a partir de esta orden el diálogo puede degenerar en una discusión del tipo “la que debe quitarse de en medio es tu madre” o si tu secretaria no se hubiera puesto de en medio todo esto no sucedería”… situación que acaba o con un crucero “al sol de media noche” o con una análisis de letrado sobre “división en dos de bienes gananciales y propiedades”. Es triste que algo que empezó con un susurro de “tu eres mi media naranja” acabe con un exigente alegato “la mitad para mi la otra mitad para ti. Yo me quedo la casa y los niños de 28 y 32 años se quedan conmigo. Deberás abonarme la mitad de su sueldo”.

 

Las divisiones justas entre dos

En el libro de los Reyes (Capítulo 3) se glosa la sabiduría y prosperidad del rey Salomón (3:16/3:28) y aparece una bonita historia según la cual Salomón decide con acierto a quien pertenece un niño tras la amenaza de dividirlo en dos mitades y “repartirlo” entre las dos mujeres que lo reclaman. La renuncia de una de las madres a su mitad hace que Salomón pueda reconocer en ésta a la madre verdadera.

La división de un bien entre Prometeus y Zeus constituye también una referencia clásica de la mitología griega.

Hoy en día los algoritmos de reparticiones (“divide y vencerás”) tienen enorme interés. Para el caso de divisiones justas entre dos simplemente se aplica el estupendo principio de

Uno divide y el otro elige

Y en casos concretos tiene sentido la división física de bienes homogéneos (pasteles, terrenos,…) o las divisiones, vía valoraciones económicas, de bienes heterogéneos (coches, casa, velero,…). Desde una celebración de cumpleaños con tarta al finiquito de los bienes gananciales de un divorcio o herencia, las divisiones justas requieren de cierta sagacidad.

Ejemplo. Se debe repartir una casa, un coche, un barco y un perro entre dos personas A y B. Ambos reparten por separado 100 puntos entre los cuatro conceptos en función de la importancia que dan a la posesión del bien en cuestión. Ante una asignación del tipo

Casa Coche Barco Perro
A 20 30 20 30
B 30 15 50 5

A debería quedarse coche y perro y B el barco y la casa pues han dado sus puntuaciones máximas a dichos bienes. Estas valoraciones subjetivas también podrían servir para ponderar valoraciones monetarias.

 

Divide y vencerás

Poco podría esperar yo que con el nuevo mundo informático mi importancia se viese catapultada al estrellato. Por ejemplo, el famoso algoritmo “divide y vencerás” (14.000 entradas en Google) se basa en aplicar recursivamente la técnica de descomponer problemas en subproblemas hasta lograr soluciones finales integrando las soluciones de los subproblemas. Dicho algoritmo facilita rebajar el tiempo computacional, siendo la búsqueda de dicotomías esencial para aplicar el algoritmo. Y esto vale para un simple problema de ordenar números a un problema complejo ligado a una aplicación real. Un bonito ejemplo es el siguiente. Si debemos “adivinar” un número entre 1 y 8 y podemos hacer ocho preguntas, la cuestión es muy fácil ¿Pero realmente se necesitan 8? La pregunta “¿Está entre 1 y 4?” determina ya a cuatro candidatos, por ejemplo, 1, 2, 3, 4 en cuyo caso la cuestión “¿Es menor o igual que 2?” fija un subconjunto de dos candidatos… ¡3 preguntas son suficientes!.

 

El problema de las semianualidades

Veamos un problema recreativo clásico enunciado por Kline y por Sam Loyd.

Problema. Un joven debe elegir entre dos trabajos. Cada uno ofrece 1800$ anuales. El primero asegura un aumento anual de 200$ y el segundo un aumento semianual de 50$. ¿qué trabajo resulta más tentador?

Hay dos formas de elegir. La primera más intuitiva lleva al error de elegir el primer trabajo pues “parece” mejor remunerado. La segunda elección que es la acertada consiste en analizar las secuencias de cobro cada medio año

½ a 1 a 3/2 a 2 a 5/2 a 3 a 7/2 a 4 a
1r trabajo 900 900 1000 1000 1100 1100 1200 1200
2n trabajo 900 950 1000 1050 1100 1150 1200 1250

 

resultando clara la ventaja económica del segundo trabajo incluso a corto plazo.

 

Factor de transmisión ½

Ustedes los humanos tienen serias limitaciones musculares para hacer funcionar los aparatos que ustedes mismos inventan. Por eso las manivelas son más largas que los cilindros que hacen rodar éstas. Si la manivela que gira es el doble en longitud que el radio del cilindro girado, el factor de transmisión será ½. ¡Yupi!.

 

El papel DINA

La división del sistema DINA se basa en papeles rectangulares de proporción √2 y en el hecho productivo de que la hoja mayor DINA0 tenga superficie 1m2. Esta aparición de un problema con solución irracional se debe al hecho de que se ha impuesto que al dividir cada hoja de la serie por su lado largo salga otro de la serie (de igual proporción). El protagonista no es pues √2 sino yo 1/2.

 

El árbol genealógico

Cuando ustedes se hacen un árbol genealógico con las fotos o los nombres de sus ancestros ¿se han fijado que cada generación es la mitad de la anterior? Dos padres, cuatro abuelos, ocho bisabuelos,… ¿Y cómo es que cada vez hay más gente? ¡Es un tema interesante!.

 

El puente sobre el río Rhine

Recientemente, un nuevo puente sobre el Rhine ha sido construido para facilitar el tránsito entre Alemania y Suiza. Ambos países acordaron construir de forma simultánea el puente ocupándose cada equipo de ingenieros de su medio puente correspondiente. Pero cuando cada equipo acabó su trabajo se constató con horror que la diferencia entre las alturas de ambas partes del puente era de 54 cm. Cabe remarcar que los ingenieros alemanes usan como referente de altura topográfica el nivel cero del Mar del Norte. Los ingenieros suizos usan el nivel cero del mar Mediterráneo. Es sabido que la diferencia entre ambos niveles cero es de 27 cm ¿Cómo se llegó a la diferencia de 54 cm?.

 

Puzzles de mitades

Un viejo comentario del feminismo radical fue la adivinanza: ¿Qué es para un hombre un papel roto en dos trozos?” siendo la respuesta correcta “un puzzle”.

Con dos piezas acostumbra a ser fácil recomponer otra pieza pero la simple división en dos de un objeto puede requerir cierto ingenio. Aquí tenemos el puzzle clásico de Sam Loyd de la silla Sedan

historia contada por un medio

Para formar un cuadrado cortando el lateral cóncavo de la silla es suficiente tener una parte cóncava y otra convexa aceptable.

Con piezas irregulares como las descritas en los libros de Brian Bolt se necesita mucho ingenio para dividir cada pieza en dos partes iguales en superficie y en forma.

Pero también soy sorprendente con polígonos convexos. Por ejemplo, al dividir un trapecio en “dos mitades” pueden surgir diversos criterios. Si a<b son las bases paralelas del trapecio, su media aritmética es el segmento paralelo a medio camino entre a y b pero su media geométrica corresponde al segmento paralelo que divide al trapecio en dos trapecios semejantes y la media harmónica corresponde al segmento paralelo que pasa por el punto de cruce de las dos diagonales. La media cuadrática, por debajo de la aritmética, corresponde al segmento que divide al trapecio en dos partes de igual área, etc.

Pero es gracias al análisis que dispongo hoy de un seguro de vida.

 

TEOREMA DEL SANDWICH. Fijada una dirección el plano de la mesa y colocado en ella un sándwich cualquiera siempre puede cortarse en dos partes de igual peso y volumen por un corte recto de un cuchillo realizado en la dirección dada.

En efecto, marquen la recta r, tomen una referencia cartesiana con r como eje de ordenadas, piense en el sándwich y para cada posición el cuchillo paralelo a r consideran la correspondiente recta paralela x=k. La función f(x), dada por la diferencia de áreas a la izquierda y la derecha de la recta perpendicular a (x,0), es continua, negativa en cierto punto a y positiva en cierto punto b. Por tanto existe un punto c entre a y b donde f se anula… y este c da la solución.

¡Lástima que se sepa la existencia pero no como hallar c en general!.

 

Las medias de los taxistas

Como saben, dos puntos A y B determinan un segmento y todos los puntos P de éste están entre “medio” de los extremos: la suma de sus distancias a ellos es igual a la longitud del segmento:

d(A,P)+d(P,B)=d(A,B).

Cuando A y B son puntos reales de una ciudad el panorama cambia radicalmente. Entre A y B hay casas, coches aparcados, parques, logos, etc. ¿Pensó Euclides que todos ustedes eran Superman, Spider o Batman? Si la realidad tiene semáforos o direcciones la cosa aun es peor. El abono de un taxi no tiene nada que ver con la “distancia euclidea” para personas invisibles. Pero la distancia del taxista lo resuelve

d((a,b),(c,d)) = |a-c| + |b-d|.

Estar “entre dos puntos” A y B es entonces estar en el rectángulo con diagonal AB.

 

Las estrafalarias medias estadísticas

Cuando ustedes se ven superados por los datos se contentan con calcular su media aritmética… y lo que obtienen son resultados de difícil interpretación ¿se han fijado que el número medio de piernas por persona en esta ciudad es menor que dos? Y que por tanto pueden inferir que “la mayoría de ciudadanos tiene más piernas que la media”… ¡Increíble!.

Curiosamente se consideran a los datos “desviados” respecto de mi (y por esto se calcula la desviación típica) y en el caso de que hay dinero de por medio pasan de llamarse “media” a hablar de “esperanza”. Luego la esperanza es siempre una media.

 

Problema de la reunión

Imagínese una empresa con empleados en dos ciudades A y B distantes 1000 km. Tres empleados de A han de encontrarse con cinco de B de manera que el kilometraje recorrido entre todos sea mínimo ¿dónde deberán encontrarse? Parece un problema de hallar un punto “en medio de A y de B”… pero la solución es que los de B no se muevan y los de A vayan a B. En efecto, el punto X que minimiza 3d(X,A)+5d(x,B) = 3(1000-d(X,B))+5d(X,B) = 3000+2d(X,B) es X=B. Cabe citar aquí el teorema de Hakimi: si existe una estructura de árbol (grafo conectado sin ciclos) con vértices V1,…,Vn y en cada vértice Vi hay ai personas, el punto P del grafo que hará posible que sea mínima la suma de distancias viajadas (por todo el personal a1,a2,…,an por el grafo) siempre es un vértice del grafo. Es decir, los puntos en medio no valen. Cabe notar que si al menos la mitad de los empleados están en un vértice Vj, éste vértice será la solución: los aj se quedan y los demás viajan a vj.

 

Mi vida probabilística

Ningún otro resultado probabilística es tan modesto como yo. Si algo se espera con probabilidad ¼ se confía en que no pasará. Si el suceso tiene probabilidad ¾ es muy posible que ocurra… pero si la probabilidad es ½ la duda corroe. ¿Si o No? ¿Par o impar? ¿Cara o cruz? ¿Chico o chica?. Me encanta ver como mi presencia crea un mar de dudas. Pero a veces hay problemas sutiles en relación a situaciones equiprobables.

Problema. En un sobre usted tiene 10€ y sabe que en sendos sobres cerrados alternativos hay 20€ en uno y 5€ en otro ¿Es buena estrategia cambiar su sobre actual eligiendo uno de los otros dos?

Hay quien lo medita calculando la esperanza E de la ganancia: si no se cambia ésta es E=10 pero si se cambia pasa a ser E=20·1/2 + 5·1/2 = 12,5… luego vale la pena cambiar. Pero también puede razonarse así: en un cambio la ganancia sería 5€ y en el otro caso -10€ luego el promedio esperable en un cambio es de 2,5€, siendo prudente no cambiar el sobre ¿Cuál es el argumento correcto?

 

Riemann mon amour

Mi gran amor en el siglo XIX fue Georg Friedrch Bernhard Riemann (1826-1866) un elegante joven profesor al que yo fasciné, dedicándome su mejor conjetura.

La función zeta de Euler  viene dada como suma o producto:

historia contada por un medio

y al aparecer en los numeradores del producto infinito potencias de los números primos resulta esencial esta función para estudiar precisamente el enigmático problema de la distribución de primos en la recta real. Por ello Riemann conjeturó que como función compleja con soluciones complejas, dichas soluciones debían tener todas parte real ½. Así s ha visto en millones de ejemplos pero la conjetura de Riemann constituye hoy uno de los grandes problemas matemáticos pendientes de resolución. Por cierto 1/(3) es la probabilidad de que dados tres números enteros al azar no tengan un factor común y 1/(2) = 6/π² es la probabilidad de que dos números al azar no tengan tampoco un dividendo común.

Bienvenido Mister 5

Por motivos muy diversos que no entraremos a detallar, o me he visto involucrado en unos extraños procesos por los cuales los docentes en lugar de dar explicaciones clorar a sus estudiantes sobre lo que estos saben o dejan de saber, recurren métodos indirectos en los que los chicos y chicas rellenan papeles o tests, luego estos papeles deben ser corregidos por el profesorado, culminando la corrección con la asignación de números o letras y dando lugar a un resultado final (número o letra) que supuestamente es auto-explicativo para el estudiante sobre su éxito intelectual concreto. Es muy común usar la escala entre 0 y 10, donde el 0 tiene un significado muy claro, el 10 también,… pero luego aparecen todos los reales (¡con decimales!) entre 0 y 10. Y, en particular la nota media, la nota central,… la mitad de 10: mister 5, el famoso aprobado. El problema no es numérico, que 5 sea la mitad de 10. El problema es semántico, y ahí estoy yo en el ojo del huracán.

¿Medio examen perfecto es un aprobado? Saber la mitad ya es suficiente? ¿Resolver todos los problemas a medias ya elimina materia? Este debe ser un punto clave para los evaluadores. A veces se cae en ridículas discusiones sobre la cercanía al 5 (¿no es el 4,0 un aprobado? ¿y el 4,89?) pero lo que es peor es el cálculo estadístico de la nota media de la clase: se pasa de un acto evaluador individual a un análisis de resultado global, haciendo acto de aparición la milagrosa campana de Gauss (ley normal) sobre la distribución de notas. Las notas medias retratan a la mayoría. El profesor Antivi ha publicado su libro sobre “la constante macabra” que corresponde a aquel tanto por ciento de aprobados (y suspensos) que cierto profesorado puede “ajustar” después de corregir, es decir, “imponer” la ley normal en la distribución de notas para lograr resultados que resulten “estándar”. La evaluación es muy importante pero las perversidades evaluadoras deberían ser superadas.

 

Díganme que me aman aunque no sea verdad

Creo que por hoy, este monólogo ya es suficiente. Me gustaría haberles trasmitido la idea de que los números como yo tenemos no solo una vida eterna sino que es tremendamente activa. Tenemos nuestras alegrías y nuestras penas. ¿Ustedes saben la envidia que me tiene el 8/17? Pero yo se lo he dicho muchas veces “aunque estés cerca de mí no es lo mismo”.

Nosotros los números estamos inmateriales en el mundo de las ideas o representados en dibujos y cuerpos, o simplemente escritos en papel o digitalizados. Es muy bonito cuando alguien me imagina como solución “debe ser x=1/2”) pero es triste cuando me usan para un problema vital (“tu te quedas con la mitad y yo con la otra”). Me gusta que un lápiz de un chico o una chica me escriba con cuidado pero me aterroriza cuando el mismo lápiz se vuelve a acercar desde arriba y empieza a tachar y tachar…

Y me encanta ser usado por todo tipo de profesores. Y aparecer en todo tipo de problemas y cuestiones de asignaturas diversas, sirviendo para algo.

Y como diría Claudi Alsina:

“La matemática rigurosa se hace con la mente,
la matemática hermosa se enseña con el corazón”

Muchas gracias por su atención y… ¡que sean felices!

Cordialmente,

Un medio.