Presentación
Permitan en primer lugar que felicite a la SAEM Thales por este aniversario, por todo lo positivo que la Sociedad más importante de España ha hecho por la Educación Matemática en nuestro país.
Junto a la alegría de este evento cabe unir el emocionado recuerdo del querido Gonzalo. Desde Sevilla y desde este Instituto al que él tanto amó, quisiera compartir con ustedes un breve escrito:
“Querido Gonzalo,
Hoy nos encontramos de nuevo en Sevilla para festejar con alegría el 25 aniversario de la SAEM Thales y recordar el décimo aniversario de tu traspaso “al cielo de los profesores de matemática buenos”. Como puedes ver desde este cielo, se une hoy la alegría de una continuidad con el sentido recuerdo de tu ausencia.
De la historia hasta 1996 tu fuiste protagonista privilegiado y esencial. Entre el 86 y el 96 tuve el honor de participar muy de cerca en lo que fue la propia consolidación de la Thales, el impulso de la Federación y el ICME-8. Fueron años complicados pero llenos de ilusiones y de compromisos.
Ya en la lejana Grecia el teorema de Thales hacia referencia a una proporcionalidad geométrica entre determinados segmentos paralelos. Aquí en Sevilla podemos hablar de tu teorema. Sí del teorema de Gonzalo. Tú nunca lo enunciaste pero lo demostraste continuamente. El teorema de Gonzalo dice que enseñar matemáticas es una forma de vivir, un saber transmitir a los demás el entusiasmo propio por el tema. Y que cuantos más entusiastas estemos juntos más entusiasmo transmitiremos. Tu lo demostraste con sonrisas, con conversaciones, con charlas e incluso con reglas y compás.
Desde el 1996 al 2006 muchas cosas han seguido adelante y de ellas, la consolidación plena de Thales es un hecho. De sociedades falta una para completar el mapa, otra formada por gente importante se mantiene al margen… todas las jornadas siguen su curso, muchas iniciativas nuevas se van poniendo en marcha. Suma ya ha llegado al número 50 y sale en color. La Federación hace a veces piruetas raras con otras sociedades… pero sigue con las JAEM y dando el premio que lleva tu nombre y que los premiados reciben con orgullo.
Todos tus “chicos y chicas” de la Thales de entonces, siguen como los viejos roqueros al pie del cañón. Pero nuevas caras se han añadido al proyecto de la sociedad y el futuro parece claro. El pasado en gran medida lo hizo posible.
Gracias Gonzalo una vez más por tu teorema, por tu liderazgo y por tu amistad. ¡Hasta siempre!
Claudi”
Esta humilde conferencia tiene como protagonista único a un solo concepto (giro) y por objetivo central hacer ver como el tratamiento interdisciplinario de cualquier tema matemático, por pequeño que sea, permite enriquecer el aprendizaje general. Nos hemos permitido denominar como Girología “la ciencia que estudia los giros” y deseamos mostrar que lo interesante no es la superespecialización de nuestra “mirada girológica” sino que ésta sea la síntesis de miradas muy diversas.
Pequeña historia de un giro
Érase una vez un profesor tan inexperto que creía que el concepto de giro era trivial. Aquel día se fue directo a la pizarra y dibujó un triángulo ABC, un puntito O como centro de giro y el triángulo girando A’B’C’ en sentido anti-horario. Explicado que esto era un giro, allí acabó la clase pues todos los chicos y chicas empezaron a lanzar preguntas. El profesor solía decir de sus alumnos que eran como los peronistas “son ni buenos ni malos, son imprevisibles”. Y aquel día fueron imprevisibles.
Chico 1: Cuando hizo giro ¿le dio vuelta al triángulo? O es la misma cara.
Chica 1: Profe. ¿Esto del giro es dar una vuelta?
Chico 2: Profe. Por tanto el A’B’C’ cambió de nombre al doblar a la izquierda.
Chico 1. Profe, si el triángulo giró ¿cómo es que el primero que dibujó se quedó igual en su sitio? ¿los que giran no se van?
Chico 2. ¡Eh!. Lo del sentido anti-horario ¿es porque el girado llega antes que el momento de la partida?
Chica 3. ¿Y con las letras que pasa? ¿El giro les ñaade primas? ¿por qué no giraron también las letras?
Chico 2. Insisto en lo anti-horario ¿el girado va al pasado?
Chico 3. Pero si todo gira ¿cómo es que no giró la pizarra?
Chico 4. ¡Todos deberíamos haber girado! (Girado como un avión)
Chico 5. SMS: “Te envío foto de la clase de giros”…
Chico 6. ¿Esto entrará en examen?
Chico 2. Insisto,… ¿si lo hacemos horario quita puntos?
El profesor estaba sudando, sorprendido dijo
Profesor: Como no preguntan nada, pasamos a otro tema. Y sonó el despertador.
El profe se levantó se fue a clase y explicó giros con todo detalle anticipándose a todas las dudas posibles. Los chicos y chicas quedaron sorprendidos de tal claridad y no hicieron ninguna pregunta.
Moral de la historia:
- Si siempre hace lo que hacía, siempre obtendrá lo que tenía.
- No se fíen de los conceptos aparentemente fáciles.
- Soñar es bueno.
Nociones de girolandés
Los homo-sapiens-letras han tenido a bien considerar las siguientes definiciones:
Giro (Del lat. gyrus, y este del gr.). m. Acción y efecto de girar.
Girar (Del lat. gyräre) 1. tr. Mover una figura o un objeto alrededor de un punto o un eje.
Lo primero que queda claro es que de todo esto ya se hablaba en Grecia. También forma parte del girolandés rotación, rotar, revolución,… Pero a la semiclaridad definitioria de la academia se han unido unos usos sociales mucho más ambiguos o sorprendentes. No solo hay el Giro a Italia sino que en las oficinas de correos se mandan giros postales o giros telegráficos o en los bancos giran letras; las empresas giran dinero, los negocios giran de dirección, las conversaciones giran alrededor de ciertos temas, girando frases se cambia su sentido, los inspectores descubren pistas dando giros espectaculares a sus casos, las calles giran a izquierda o derecha, como los coches… y los políticos también.
También en el mundo poético-musical de las canciones esta presente el girolandés ya sea con Carlos Gardel su “Yira, Yira” o con la famosa canción de Jimmy Fotna (“Il mondo”)
“Gira il mondo gira
vello spacio sensa fine
con le amore a pena nati
con le amore deja finite
con la joia e con dolore
de la gente come me”
Girología y realidad
Todo el universo gira. Nosotros vivimos en un mundo que gira, y donde la Naturaleza exhibe multitud de giros: giran los huracanes, giran helicoidalmente los troncos de los árboles, giran al crecer los cuernos de los ciervos y otros mamíferos, giran las serpientes al moverse sinusoidalmente, giran las plantas enredaderas para subir, giran los ríos en sus meandros,… e incluso giran las hélices de la estructura básica de la vida: el ADN.
Girología y diseño
Pero en la realidad que nos rodea también coexisten junto a todo lo que la Naturaleza nos ofrece millones de objetos fruto de la creatividad humana. Alguien un día inventó la rueda y con sus giros cambió las perspectivas de la Humanidad. Giramos en las escaleras de caracol, giramos las roscas de las botellas, giramos las llaves para que giren las puertas, giran las manecillas de los relojes, giran las manivelas y los sacacorchos, giran las cucharillas para disolver el azúcar, gira la fregona, gira el rodillo de amasar pizzas, gira la batidora, gira el balancín de la siesta, etc., etc., etc.
Girología y espirales
Cuando la cuerda enrollada a un palo se va desenrollando su extremo describe la espiral de Arquímedes (“la distancia al centro es proporcional al ángulo girado”). La espiral empaqueta y es tejida por arañas, usada por pescadores que guardan cuerdas, está presente en colas de animales, en los rollos de película, discos y casetes, etc.
Combinando giros y homotecias también nacen las espirales logarítmicas tan esenciales en el crecimiento orgánico de conchas de caracoles o del Nautilus y tan rudimentariamente presentes en el desarrollo de nuestras sensibles orejas.
Giros y danza
Desde tiempos ancestrales la Humanidad se ha permitido el lujo de ampliar los movimientos imprescindibles del cuerpo humano con sofisticados repertorios de movimientos más o menos estrafalarios, llamados danza. Es en la búsqueda de recursos danzantes que los giros corporales adquieren un remarcable protagonismo.
Una sola persona girando frenéticamente sobre sí misma constituye ya un recurso escénico de primer orden. Las parejas de baile realizan armoniosos giros (vals) o rotaciones bruscas (tango). Pero el fenómeno más notable es el del giro en una circunferencia compuesta por parejas con las manos enlazadas, desde el sirtaki griego, a la sardana catalana, el country americano,… o la gran mayoría de danzas trivales.
La danza puede ser de uno, de una pareja o de un colectivo pero encuentra en los giros su lenguaje de máxima expresividad.
Giros, Sissi y Fibonacci
Cuando Leonardo de Pisa – Fibonacci (1170-1240) dejó escrita su celebrada secuencia:
1, 1, 2, 3, 5, 8, 21, 34, 55, 89, 144,…
poco podía sospechar que dicha colección numérica tuviera, muchos siglos después de su creación, su actual esplendor. Pero Fibonacci no podía ni soñar que en su nombre y con sus “números” se pudiera componer un vals. Ted Frobey (http://web.tampabay.rr.com/warhawks/FibonacciWaltz.html) ha compuesto “The Fibonacci Waltz” a base de fijar una escala (las teclas blancas en un teclado) y tocar la melodía básica correspondiente a las teclas 1ª, 2ª, 3ª, 5ª, 13ª, 21ª,… resultando una melodía repetitiva de 16 notas que se corresponde con la espiral aurea. Con ritmo y armonización añadidos resulta un vals atractivo que posiblemente a la emperatriz Sissi le hubiese gustado danzar en sus salones austriacos mientras los Strauss estuviesen estudiando a toda prisa los números de Fibonacci.
Girología y deporte de aventura
Una novedad en deporte de aventura es bajar rodeando por un prado inclinado… pero con el deportista situado en el interior de una esfera transparente, experimentando en vivo y en directo los giros tridimensionales… lográndose emociones que renunciamos a descubrir.
Girología y creatividad
Y entre medio de centenares de giros cósmicos y cotidianos surge la creatividad basada en el uso insólito de giros. Gaudí hace girar sus patas de la mesa para la casa Batlló, Carelman gira media cafetera para obtener “una cafetera de masoquistas” y crear con ello un”objeto imposible” emblemático, Mozart compone para dos violines el Scherzo-Duetto y la partitura se puede interpretar de arriba abajo o al revés.
Gustave Verbeek (1867-1937) fue un singular dibujante de comics. Nacido en Japón (por ser su padre un profesor belga que trabajaba en la Escuela de Tokio), estudió en París y se estableció en 1900 en Estados Unidos colaborando en Harper’s, Saturday Evening Post, New Cork Herald, etc. A Verbeek se debe el singular comic “The Upside Downs of Little Lovekins and ANLD Man Muffaroo” (1903-1905) que podia leerse primero en el sentido normal y después seguir leyendo girando media vuelta. Gustave Verbeek abandonó el comic en 1920 y se dedicó a la pintura y escultura.
En http://members.shaw.ca/bradyung/verbeek.html puede verse un comic girable interactivo creado por Brad Yung en homenaje a la obra girable de Verbeek.
Girología y Geometría
En el contexto de la Geometría euclidea, un giro del plano es un movimiento alrededor de un centro O que envía todo punto P a otro P’ de forma que OP y OP’ determinan siempre el mismo ángulo de giro. Centro y ángulo determinan el giro, conservando distancias, ángulos, formas, paralelismo, perpendicularidad,… e incluso orientación. Análogamente en el espacio tenemos las rotaciones de ángulo dado alrededor de una recta o eje.
Muchos son los recursos didácticos para visualizar giros, desde objetos reales que giran como los que hemos nombrado a círculos enlazados de cartulina, compases, círculos graduados, el Negator, la esfera de Lehnard,, mosaicos que crecen en forma espiral, mosaicos de Penrose, monedas que giran entre ellas,… etc. Un sinfín de posibilidades ya bien exploradas que deberemos usar en clase para experimentar.
En la tesis doctoral de Jordi Quintana (“Análisis del tratamiento de la geometría en el currículo de educación primaria. Una propuesta didáctica y un estudio de caso sobre las transformaciones geométricas”, Universidad de Barcelona, 1996) se ha estudiado en profundidad el tratamiento curricular de las isometrías en el nivel de primaria evidenciando la diversidad de enfoques y la tendencia a tratar las isometrías de forma descontextualizada, como transformaciones en sí mismas. Quintana comparó las distintas estrategias didácticas de Dienes, Canals, Burgués, Jaime y Gutiérrez que van desde un desarrollo formal a planteamientos más abiertos y experimentales o ligados a fases de aprendizaje y con sus experiencias pudo establecer una producción en las dificultades del aprendizaje de las isometrías.
- Las traslaciones son más fáciles que las simetrías y estas lo son más que los giros;
- Las relaciones a la horizontalidad son más simples que las de verticalidad y éstas mucho más simples que las inclinadas;
- Las isometrías se ven a nivel local limitado y no como transformación de todo el espacio;
- Los giros se describen e identifican con diferentes denominaciones;
- Los giros emblemáticos son con centro exterior y hacia la izquierda, es decir, en sentido anti-horario;
- Se dan enormes confusiones con dirección y sentido, posición y situación, movimiento, desplazamiento, etc.
- Los ejemplos más simples que se aprecian de giros son relativos a puertas, llaves en cerradura, microondas, lavadora, ventilador, coches y ruedas, volantes, etc.
Con los trabajos realizados Quintana muestra como lograr durante la primaria (y no solo al final) a través de materiales, videos y programas informáticos de dibujo dar una buena instrucción sobre isometrías (y giros en particular).
También hay bonitos problemas a nuestra disposición. He aquí algunos de ellos.
Problema de las 45 copas
Sobre una mesa hay colocadas (boca arriba) 45 copas y sólo se pueden girar a la vez 6 copas ¿se podrán girar todas?
¡Pues no se puede! Basta notar que si todas se hubiesen podido girar cada copa habría girado necesariamente un número impar de veces (1 o 3 o 5…)… y la suma de 45 números impares no puede ser múltiplo de 6.
Problema del reloj
Un reloj de campanario tarda 30 segundos en tocar las seis campanadas de las 6 ¿Cuánto tardará en dar las doce campanadas de las 12?
Pues tarda 66 segundos (!), no 60. Analizando el caso de las 6 vemos que los 5 intervalos de las 6 duran 6 segundos cada uno… luego con 11 intervalos de las 12 se precisaran 66 segundos en total (Rafael Bracho).
Problema de las monedas
¿Cómo queda la moneda (cara) cuando rueda alrededor de otra moneda igual (cruz) solo media vuelta?
¡Queda con la cara en la misma posición! Por cada grado de la moneda central fija la moneda rodante necesita girar 2 grados.
Problema del circuito de monedas
Si una moneda rueda alrededor de un circuito de monedas iguales tangentes… ¿cuántas vueltas dará para volver al principio?
¡Experimente! Al final descubrirá que el número de vueltas es (2/3)n+4 (M. Gardner para un circuito de n monedas.
Problema de la paradoja de Kasner y Newman
“Si una rueda gira 360º a lo largo de una recta habrá recorrido una longitud de 2πR siendo R su radio. Un punto interior a distancia r del centro recorrerá 2πR… luego r=R” ¿Dónde está el error?
Estos movimientos esconden las trayectorias que son curvas de la familia de las cicloides y por ello puntos distintos de las ruedas pueden tener recorridos diferentes.
Problema de los cuadrados y la circunferencia
Un cuadrado C tiene inscrita una circunferencia y en ella hay inscrito otro cuadrado D paralelo a C. ¿Qué relación tienen las áreas de C y D?
El cuadrado C tiene área doble que su nomotético D… basta que gire D un cuarto de vuelta para ver clara esta relación.
Girología y teoremas
Al ser los giros isometrías directas del plano o del espacio que conservan todas las características métricas de las figuras, resulta que algunos teoremas clásicos pueden ser demostrados visualmente mediante giros. Aquí podremos observar tres joyas de Girología.
Teorema de Pitágoras
Una de las demostraciones más elegantes del celebrado Teorema de Pitágoras fue la encontrada por el ilustre Leonardo da Vinci, artista y técnico de primer nivel que demostró ser también un girólogo avanzado:
Demostración de Leonardo
Nótese de paso que los triángulos ECF, ABC, AB’D’ y A’BD tienen la misma área: basta girar AB’D’ alrededor de A hasta que AD’ coincida con AC para verificar la igualdad de áreas (iguales bases e iguales alturas). Sorprendentemente esto vale para cualquier triángulo, no necesariamente rectángulo.
Teorema del punto de Fermat
En el mundo de los triángulos destaca con especial relieve el punto de Fermat, el punto de la difusa cuya suma de distancias a los tres lados es mínima. La siguiente demostración sin palabras basada en giros es extraordinariamente simple.
Si P es un punto cualquiera, al girar 60º el triángulo APB obtenemos el AP’C’ resultando equiláteros el AC’B y el APP’, luego
cantidad que será mínima cuando C’P’PC estén alineadas,… luego el punto de Fermat será la intersección de las tres líneas que unen cada vértice con el del triángulo equilátero situado sobre su lado opuesto.
Girología docente
A nivel docente hay un giro que no podemos permitir y es el del alumno/a que sentado/a cae hacia delante hasta que su cabeza queda apoyada en el pupitre y su mente sumida en un profundo sueño. El sueño del aburrimiento ante las espaldas del profesor de matemáticas que en la hora en punto se giró 180º respecto de la clase para mantener su particular hora de diálogo con la pizarra. El “giro del sueño” lo podremos evitar con nuestro giro de atención hacia la clase, primando nuestro interés por los chicos y las chicas por encima de nuestro afán curricular.
Hay otro giro que debemos cuidar. Es el giro de la cabeza hacia cualquier lado, el giro que busca otras complicidades y altera la atención. Forma parte esencial de nuestra misión cautivar el interés por las matemáticas y para ello contamos con grandes posibilidades derivadas de la interdisciplinariedad.
Girologia de Gonzalo y de la Thales
Un tercer tipo de giro es aplicar lo que Gonzalo Sánchez Vázquez denominaba
“enseñar matemáticas según una hélice”,
volver a pasar siempre sobre lo mismo pero cada vez desde mayor altura, desde un nivel superior. Revisar siempre y ampliar.
Y un cuarto tipo de giro es el de mantener siempre el rumbo. Podemos girar y volver a girar pero nunca debemos perder el rumbo. Nuestro objetivo se llama formación matemática para el futuro: llegar lo más lejos posible hoy en formación matemática actual para posibilitar seguir aprendiendo mucho más mañana. La SAEM Thales ha ayudado y seguirá haciéndolo a mantener claro este rumbo.
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Estos cuatro tipos de giro de los cuales les he estado hablando (atención a las personas, captación del interés, altos objetivos de aprendizaje y rumbo hacia el futuro) son mucho más importantes que los giros legales continuados. Les animo a practicar esta peculiar Girología de profesores/as y les agradezco que en todo momento sigan con ilusión y ánimo el cultivo de nuestra profesión. A pesar de los giros que la Historia ha dado nuestra labor sigue siendo la conquista de un futuro mejor en igualdad de oportunidades. Gracias por perseverar en ello mientras “Gira il mondo gira…”
Claudi Alsina