Claudi Alsina
Consell Interuniversitari de Catalunya
&
Carme Burgués
Universitat de Barcelona

Resum: Molts mestres ens han deixat un valuós llegat per a l’educació matemàtica de tots els nivells. Malauradament no tothom recorda qui va inventar el geoplà o el que seguim fent d’ Freudenthal. Molta gent referent mereix un homenatge: el farem!

A la memòria de Lluís A. Santaló i Sors (1911-2001),
amb motiu del seu centenari

L’objectiu d’aquesta conferència és retre un just homenatge a mestres referents que ens han deixat un valuós llegat didàctic. La primera obligació del bon hereu és conèixer els seus pares. La segona és estar agraït.

 

LLEGATS MATEMÀTICS I LLEGATS DIDÀCTICS

La bona gent de l’educació matemàtica gaudim avui d’un ampli ventall de llegats. La tradició d’ensenyar matemàtiques es remunta a la nit dels temps i per tant hem anat acumulant aportacions de moltes èpoques i de moltes persones. Som hereus privilegiats de moltes generacions que ja han fet aquest ofici. Aquí distingirem essencialment dos tipus de llegat:

  • Llegats matemàtics
    Son els llegats dels matemàtics que amb les seves idees, conceptes, resultats, tècniques, etc, han fet possible la construcció d’aquesta meravellosa ciència dita matemàtica. Alguns personatges mítics ens deixaren un corpus disciplinar extraordinari (Euler, Gauss, Pitàgores, Euclides, Descartes,…) i d’altres ens deixaren algunes perles esporàdiques però que han sobreviscut el pas del temps (Fibonacci, Herón, Recorde, Bramagupta,…). Aquests llegats disciplinaris essencials estan en la base de la nostra tasca docent.
  • Llegats didàctics
    A aquest dedicarem aquesta conferència. Per una banda hi ha els llegats materials, objectes que esdevenen valuosos estris manipulatius a classe per a fer jocs, simular situacions o coses, visualitzar i entendre un bon gruix de continguts. També gaudim de llegats iconogràfics (dibuixos, diagrames, gràfics, fletxes, representacions cartesianes,…) que son un auxiliar visual potent. I, primordialment, tenim llegats metodològics, formes d’ensenyar, motivar, guiar, etc., que estan al cor de la didàctica.

 

LLEGATS ANÒNIMS

Molts llegats didàctics no son d’autor. Algú els va idear, algú els va començar a usar a classe i avui formen part dels nostres recursos d’aula. Però no sabem lligar-los a un nom i de vegades és fins i tot difícil datar-los. Però viuen ja instal·lats entre nosaltres. Com aquells teoremes que tothom sap però que ningú sabria dir qui els va descobrir. Si en matemàtiques es parla de “folklore matemàtic” per referir-se als resultats sense nom propi, nosaltres podríem parlar de “folklore didàctic”. En el món de les receptes de cuina es dona una situació semblant.

Els daus, les cartes, els dominós, jocs de tauler, el meravellós TANGRAM, les tècniques d’ORIGAMI o paper plegat, els algorismes per a fer les operacions aritmètiques, la prova del nou,…tots aquests llegats sense autor conegut son nostres.

 

LLEGATS RECREATIUS

Un llegat d’autor que ha esdevingut molt interessant per a presentar històries, problemes, trencaclosques, experiments, etc., és el que pertany a la matemàtica recreativa. Voldríem fer referència ara a alguns dels nostres referents en aquest camp.

 

EDUARD LUCAS (1842-1891)

Fou un matemàtic francès, professor de secundaria , investigador (successió de Lucas) i inventor de les populars TORRES DE HÁNOI. Aquest joc del 1883 és un exemple ideal per a raonar i apreciar el creixement exponencial quan hom va comptant els passos necessaris per a resoldre el problema de traslladar els n – discos, quan n creix. També va escriure molt sobre matemàtica recreativa, en la qual va ser pioner.

 

LEWIS CARROLL (1832-1898)

Aquest il·lustre escriptor d’èxit anglès ens deixà una interessant col·lecció d’ obres amb Alícia al capdavant que exploren el llenguatge i la lògica, on es fonen la ficció i l’enigma que cal descobrir.

 

SAM LOYD (1841-1911)

Un autor americà de puzzles espectaculars i molt populars des de la seva publicació, ens deixà un gran llegat en Sam Loyd’s Cyclopedia of 5000 Puzzles, Tricks, and Conundroms (With Answers) de 1914 que avui tenim a l’abast a http://www.mathpuzzle.com/loyd/. Va aconseguir captar en diaris l’atenció del gran públic i ha esdevingut font d’inspiració per a moltes generacions.

 

HENRY ERNEST DUDENEY (1857-1930)

Un dels autors de trencaclosques més original i prolífic. El seu The Canterbury Puzzles and Other Curious Problems de 1907 i Amusements in Mathematics de 1917 son clàssics en el tema, monogràficament dedicats als reptes matemàtics, amb una enginyosa presentació de dibuixos i text.

 

JOSEP ESTALELLA (1879-1938)

El professor de física i química Josep Estalella, ànima de l’Institut Escola del Parc de la Generalitat dels anys 30, ens deixà l’obra Ciència Recreativa de 1918,, en la qual hi ha una aproximació manipulativa i recreativa pionera en les ciències.

 

PIET HEIN (1905-1996)

Aquest creatiu danès (científic, matemàtic, poeta, inventor,…) va dissenyar els populars jocs Hex, Tangloids, Monna, Tower, Polytaire, TacTix, Nimbi, Qrazy Qube, Pyramystery… i el CUB SOMA (1933). Aquest cub disseccionat en 7 policubs, admet 240 solucions, es considera un equivalent 3D dels poliminos de Golomb i ja forma part del material geomètric clàssic. Martin Gardner i John H. Conway el varen popularitzar.

 

MARTIN GARDNER (1914-2010)

Aquest periodista enormement popular per les seves columnes en el Scientific American i els seus innumerables llibres va saber divulgar com ningú temes matemàtics novedosos, problemes i temes oberts, fent assequible a molta gent poder entendre que estava passant en el món de les matemàtiques.

 

SOLOMON W. GOLOMB (1932- )

En 1953, aquest gran matemàtic i enginyer introduí els POLIMINOS (dóminos, triminos, tetraminos…). Popularitzats per Martin Gardner, donen peu a interessants exercicis de geometria plana i combinatòria en un full quadriculat , amb peces de cartolina o fusta o en format digital (com el popular TETRIS).

 

LLEGATS DOCENTS

Moltes son les personalitats que han contribuït a la renovació temàtica i metodològica en l’ensenyament de les matemàtiques. En volem destacar alguns

 

MARIA MONTESSORI (1870-1952)

Persona de gran preparació i activitats molt diverses va marcar època en l’educació dels més petits, plantejant un nou model escolar i un aleshores novedós ús dels materials per a aprendre millor.

 

ALEXANDRE GALÍ (1886-1969)

El nostre il·lustre pedagog i historiador va desenvolupà una extensa tasca docent i aportà a l’educació matemàtica les proves de càlcul mental, obrint noves perspectives a aquest important aprenentatge.

 

JULIO REY PASTOR (1888 -1962)

Tant a Espanya com a Argentina aquest il·lustre matemàtic no sols va fer recerca sinó que va ser impulsor de moltes activitats matemàtiques, va ser referent d’una escola de col·laboradors com Puig, Pi o Santaló i ens deixà interessants llibres de batxillerat i d’universitat que en el seu moment van representar una ben necessària renovació europea en l’ensenyament iberoamericà.

 

PERE PI CALLEJA (1907-1986)

Il·lustre matemàtic de l’escola de Julio Rey Pastor, va crear importants texts universitaris i una curiosa visualització de l’ inducció matemàtica usant una fila de soldadets de plom on la caiguda del primer arrossega al següent…i Aixa tota la fila (Análisis Matemático, vol.1, 1952).

 

LUIS A. SANTALÓ (1911-2001)

Considerat el millor matemàtic català del segle XX, l’entranyable gironí Lluís Antoni Santaló desenvolupà la seva tasca a Argentina, va liderar la Geometria Integral però es va involucrar també en l’educació matemàtica, va escriure llibres de text emfatitzant la creativitat, va recolzar la Olimpíada Matemàtica Argentina, va fer conferències i formació de professors i va defensar sempre l’ensenyament de la probabilitat i l’ús de les calculadores. Una joia de Santalo és la frase:

Vaig aprendre a aprendre per a poder ensenyar

i vaig aprendre a ensenyar per a poder aprendre

 

PERE PUIG ADAM (1900-1960)

Català format a Madrid exercí com a catedràtic de l’Instituto San Isidro, a l’escola d’enginyers i a l’ acadèmia. Va escriure llibres de text de batxillerat i d’universitat (encara reeditats avui en dia), es va involucrar el la CIAIEM, i es un referent en l’ús del material didàctic. Una joia encara actual és el seu popular “Decàleg de la Didàctica de la Matemàtica” de 1955:

  1. No adoptar una didàctica rígida, sinó adaptada a l’alumne en cada cas, observant a aquest constantment.
  2. No oblidar l’origen concret de les matemàtiques ni el procés històric de la seva evolució.
  3. Presentar les Matemàtiques com a una unitat en relació a la vida natural i social.
  4. Graduar amb cura els nivells d’abstracció.
  5. Ensenyar guiant l’activitat creadora i la descoberta del propi alumne.
  6. Estimular aquesta activitat despertant l’interès directe i funcional vers l’objecte de coneixement.
  7. Promoure tot el possible l’autocorrecció.
  8. Aconseguir un domini suficient dels aprenentatges abans d’automatitzar-los.
  9. Vetllar perquè l’expressió de l’alumne sigui la traducció fidel del seu pensament.
  10. Procurar a tot alumne èxits que evitin el seu descoratjament.

 

CALEB GATTEGNO (1911-1988)

Lingüista i matemàtic egipci, l’any 1981 va venir a Barcelona a presentar un sistema d’aprendre idiomes basat en l´ ús de l’ordinador i els colors. Llegia i entenia el català, parlava el castellà i, naturalment, l’anglès. En aquella visita vàrem conèixer les seves pel·lícules dinàmiques. Era la versió informàtica de les pel·lícules d’en Nicolet. Home que quan sabia d’alguna cosa que li semblava important per l’aprenentatge de les matemàtiques ho divulgava, com va fer amb els reglets Cuisenaire (1952) i les pel·lícules d’en Nicolet. Sembla que el geoplà es un invent seu (1961).

 

GEORGES CUISENAIRE (1891-1976)

Mestre de primària a Bèlgica, publicà en 1952 Els nombres en colors, donant peu a una forma molt instructiva de treballar aritmètica bàsica amb l’ajut d’uns reglets de colors de diverses llargades. Esta en la línia dels reglets de Maria Montessori i dels actuals reglets de Maria Antònia Canals. A l’any 1966 ja es feien servir a l’escola pública de la Plaça d’Espanya de Barcelona a nivell de educació infantil. Sembla que la traducció dels llibrets d’en C. Gattegno ja havia arribat a Barcelona.

 

J.L.NICOLETTE (?-1966)

Aquest mestre va tenir la brillant idea cap el 1940 de fer notar que els films podien ser un interessant material per aprendre coses a partir d’imatges dinàmiques. Va ser però Caleb Gattegno qui basant-se en les idees de Nicolette va fer films de geometria. Els films de 16 mm, en colors, sense so i usant imatges dinàmiques generades per ordinador donaven peu, en ser breus, a projectar diverses vegades la pel·lícula i mitjançant un diàleg fer descobrir propietats geomètriques. És sorprenent l’ús de les imatges digitals en l’època.

GEORGE PÓLYA (1887-1985)

Let us teach guessing
G. Pólya

Gran matemàtic hongarès, va saber afegir a les seves importants recerques una de les contribucions metodològiques que més han influït l’educació matemàtica: la RESOLUCIÓ DE PROBLEMES (HEURÍSTICA), com a motor de l’aprenentatge. Les seves dues grans obres varen ser el popular How to solve it (1945 ) i Matemàtiques i raonament plausible.

Una afirmació de Pólya recull el seu posicionament sobre l’educació:

Ensenyar matemàtiques és fer possible que els estudiants les descobreixin per si mateixos

Aixa doncs el gran llegat de Pólya és formar els estudiants a través de la seva participació activa, assajant mètodes per a resoldre qüestions, fent induccions, fent analogies, fent “proves i errors”, formulant conjectures,…tot un procés on rigor, creativitat i intuïció es combinen per a fer pensar. Arribar a entendre construint el propi aprenentatge, el que situa el docent no com a transmissor de coneixements sinó com a guia d’un procés.

TAMAS VARGA

Aquest profesor hongarès va dissenyar als anys setanta una meravellosa “ caixa Varga” amb una col·lecció de jocs variats (ruletes, daus, taulers,…) per a ensenyar probabilitat i fonaments d’estadística.

 

HANS FREUDENTHAL (1905-1990)

Il·lustre matemàtic holandès va aconseguir que al seu país no s’imposés la Matemàtica Moderna i va ser l’ideòleg en els 70’s de la MATEMÀTICA REALISTA també dita matemàtica en context. Els seus seguidors a l’institut que avui porta el seu nom, amb Jan de Lange al davant, han tingut una influència mundial. La proposta és motivar i treballar a classe a partir de situacions reals, de dades reals, d’APLICACIONS i de desenvolupar MODELS matemàtics. Una proposta de grans implicacions docents, que lliga perfectament amb la resolució de problemes de Pólya.

 

H.S.M.COXETER (1907-2003)

El gran geòmetra del segle XX. Ell va rellançar l’estudi de la geometria, deixà meravellosos llibres sobre geometria clàssica i va influir en l’obra d’ Escher. El tema dels mosaics i dels políedres, amb grans derivacions didàctiques ,es van veure enriquits i popularitzats per la seva dedicació.

 

HOWARD EVES (1911-2004)

Aquest matemàtic americà ens deixà un extraordinari llegat de llibres sobre geometria i sobre historia de la matemàtica. Especialment el l’ús de la història de la matemàtica a classe les seves propostes pioneres de plantejar la resolució de problemes a partir d’exemples històrics ha influït aquesta especialitat que tants seguidors té avui en dia.

 

DAN PEDOE (1910-1998)

Autor de llibres de geometria, especialment interesant La Geometria en l’art i en els seus darrers anys treballà en els San Gaku japonesos, tauletes japoneses que contenen teoremes. Avui l’interés per matemàticas i art com a motor educatiu és un corrent creixent.

 

JOAN CASULLERAS (1920-1996)

En Joan Casulleras va ser un emblemàtic catedràtic de matemàtiques i director d’institut que va fer interessants llibres de text i formació de professors. Som molts els que havent fet el CAP amb ell en recordem un bon llegat. El seu cordill a la butxaca i impecablement usat a la pissarra fent dibuixos i dient “no se com un professor pot sortir de casa sense el cordill”, és un gran record. En la seva concepció del treball escolar deia:

  1. Acció
  2. Observació i control dels fets.
  3. Conversa amb el professor i els altres alumnes.
  4. Consulta de llibres.
  5. Explicació del professor.
  6. Resum escrit al quadern.

 

MARIA RÚBIES (1932-1993)

La lleidatana Maria Rúbies, matemàtica, mestra i política, va ser una bona escriptora de llibres de text (Fem Matemàtica), va ser pionera en introduir el programa LOGO i va influir en els primers currículums oficials de la Generalitat recuperada.

 

GONZALO SÁNCHEZ (1917-1996)

Popular professor de matemàtiques i director a un institut de Sevilla, va esdevenir l’anima de la Societat Thales del professorat andalús i va ser el primer president fundador de la Federació espanyola de societats de professors de matemàtiques impulsor d’ICME-8 a Sevilla. Va ser un enamorat de la geometria mètrica i de la poesia.

 

MIGUEL DE GUZMÁN (1936-2004)

Catedràtic d’Anàlisi Matemàtica i gran investigador va desenvolupar una important tasca de divulgació apostant per la resolució de problemes (Aventuras Matemáticas, Para pensar mejor,…), va fer textos molt bons amb A.Salvador i J. Colera, va introduir el programa ESTALMAT per estimular el talent matemàtic, va formar professors i va presidir ICMI durant vuit anys, essent un referent internacional.

 

NEIL POSTMAN (1931-2003)

Com a sociòleg, aquest americà ens va deixar importants obres crítiques de reflexió aprofundida sobre l’educació i el seu paper formatiu i social: El fi de l’educació: redefinint el valor de l’escola (1986) o Ensenyar com a activitat subversiva (1971).

 

GEORGE PAPY & FREDERIC PAPY

Aquest il·lustre matrimoni belga va fer una gran tasca per apropar la Matemàtica Moderna dels anys 70 a l’escola. Els seus diagrames i el seu MINI COMPUTADOR mic varen gaudir d’enorme popularitat. Els temes tractats no son avui presents a les classes però l’esperit didàctic que varen demostrar si. A Catalunya Josep Mª Agustí i Antoni Vila foren hereus d’ aquesta aproximació a la didàctica de la Matemàtica.

 

ZOLTAN P. DIENES (1916 ►)

Aquest canadenc va idear en els 70’ s els populars BLOCS LÒGICS, un gran material didàctic que juga amb quatre característiques dels blocs: grandària, color, forma i gruix, permetent treballar la lògica, les connectives lògiques, el raonament, els conjunts, les relacions, les classificacions, etc.

 

MAURICE GLAYMANN , DAVID FIELKER, GASTON MIALARET

Noms clau en la consolidació de la Didàctica de la Matemàtica ens deixen maravellosas obres escrites que varen obrir moltes noves idees.

 

EMMA CASTELNUOVO ( 1913 ►)

Filla d’ un gran geòmetra italià son famoses les seves aportacions al treball amb materials manipulables, especialment en la geometria, així com l’ ensenyament de les matemàtiques a partir de la realitat. El primer llibre en espanyol fou Didáctica de la Geometria i molts anys després es va traduir La Geometria. Col·laborà amb la CIEAEM des de la seva fundació, treballà amb Piaget, Gattegno, Puig Adam i d’ altres.Organitzà exposicions amb els treballs dels alumnes. De les mateixes en surten publicacions com Documenti di un’esposizione di matematica el 1972 i Matematica nella realtá el 1976.

 

SOL GARFUNKEL (1943 ►)

Matemàtic americà que a través de la seva empresa COMAP ha produïtnombrosos materials curriculars, vídeos, revistes, etc., d’ una gran qualitat, amb l’ aval de National Science Foundation i centrat tot en l’ educació matemàtica basada en modelització i aplicacions. El seu programa actual Math is more representa un alt nivell d’ innovació.

 

MOGENS NISS (1944 ►)

Figura internacional clau en educació matemàtica ha unit a les seves tasques en ICMI, una enorme influencia en les proves PISA de la OCDE, essent home clan en la introducció de la idea de competència matemàtica i el desenvolupament curricular per competències.

 

UBIRATAN D’AMBROSIO (1932 ►)

Aquest il·lustre matemàtic brasiler ha fet un gran impacte com a pare de la Etnomatemàtica, branca de l’ educació matemàtica on s’ aprofiten els propis contextos socials i culturals dels alumnes per a motivar l’ aprenentatge. Si bé la idea inicial fou concebuda pensant amb les tribus de l’ Amazonia brasilera, molts seguidors han estès aquesta idea per a d’ altres situacions i llocs.

 

JUAN CARLOS DALMASSO

Aquest home ha estat i és l’ ànima de la Olimpíada matemàtica Argentina, una organització de gran impacte educatiu a Argentina i a Iberoamèrica, on la resolució de problemes és el motor.

 

JEAN M. & COLETTE LABORDE

Aquesta coneguda parella francesa han estat l’ anima de la geometria dinàmica amb la creació del programari CABRI. En les successives versions del programa i aprofundint en llur interès didàctic, s’ han obert portes a molts altres programes que com el popular GEOGEBRA s’ han inspirat en els programes CABRI de Jean M. Laborde.

 

MªANTONIA CANALS (1930 ►)

La nostra estimada Maria Antònia, la reina dels materials per a infantil i primària en el seu gabinet GAMAR, com a mestre innovadora a dedicat tota la seva vida a l’ educació de nens i de mestres, liderant el grup Perímetre, dissenyant (REGLETS!) i col·leccionant materials. Voldríem recordar un encantador escrit de 2001:

Als nens i nenes
FES: experimenta, manipula, toca, mira, dibuixa allò que passa i que sovint en diem problema, construeix.
FIXA’ T: observa què passa, què ha passat, què ha canviat, com és, què fa, posa-hi molta atenció.
PENSA: compara, endevina, relaciona, fes-te preguntes, busca explicacions…
ADONA’ T de si has descobert alguna cosa que no sabies abans.
MERAVELLA’ T de cada nova descoberta que fas, perquè és la teva descoberta.
EXPLICA – LA ALS ALTRES, digues què has fet, que creus que ha passat o què has descobert, respon les preguntes dels altres i escolta‘ ls.
COMPROVA amb instruments si torna a passar el mateix, si és veritat.
ESCRIU-HO amb llenguatge verbal, amb un dibuix, amb llenguatge matemàtic.
PENSA A QUI , O PER A QUÈ POT SERVIR. INVENTA alguna cosa semblant o nova.

 

I MOLTA GENT SEGUEIX FENT BONA FEINA

A nivell internacional tenim gent molt activa en recerca educativa i innovació:

J.MASON, P.GALBRAITH, J.KILPATRICK, M.BURNS, J.DE LANGE, P.BOERO, C.GAULIN , FILLOY, V.KATZ, A.ARCAVI, H.BURKHART, FAUVEL, L.STEEN, C.GAULIN,….

I també a casa nostra hi ha hagut i hi ha molta gent compromesa en una millor educació matemàtica:
GRUPO CERO, GRUP ZERO, PERIÓDICA PURA , GRUP ALMOSTA, GRUP VILATZARA, L.BALBUENA, F.ALONSO, R.PÉREZ, F.CORBALÁN, A.PÉREZ , F.HERNÁN, J.COLERA, A.MARTÍN, A.AUBANELL, A.ALMATÓ, L.SEGARRA, J.MªFORTUNY, J.DEULOFEU, M. BERINI, J.GOMEZ, M.L.CALLEJO, M.PAZOS, J.MUÑOZ,…. I TOTS NOSALTRES!

 

UN LLEGAT PER SEMPRE

Estimats/ades col·legues,
Us hem reservat per al final una sorpresa. Si el proper dia de classe hi arribeu una mica abans de que les nois i noies omplin de brogit l’ aula, la classe no estarà buida sinó ben plena:

  • En Martin esta esperant carregat de llibres i puzzles de Lucas, Lewis, Sam, Henry i Piet.
  • La Maria estarà repartint reglets de colors per les taules, agrupades de quatre en quatre.
  • L’ Alexandre tépreparades proves de càlcul mental.
  • En Pere enfilat a una escala estarà lligant cordes per a fer al sostre una gran figura mentre en Julio, Pere i Lluís l’ ajuden.
  • En Caleb estarà projectant una pel·lícula de Nicolette, repartint repletes de Cuisinaire i geoplans.
  • En George ha triat ja un problema a partir de la caixa d’ en Tamas.
  • En Hans te reservat un autocar per anar a visitar una indústria.
  • En Harold i en Howard s’ han posat d’ acord amb fer un taller històric de políedres.
  • En Joan esta fent cercles a la pissarra amb un cordill i en Gonzalo vol fer venir professors a l’ aula.
  • La Maria encara té un logo a les mans i un currículum nou sota el braç.
  • En Miguel ha portat una bateria de qüestions per els més talentosos.
  • I fora de la classe estan picant a la porta en Georges, en Zoltan, l’ Emma, en Sol, en Mogens, l’ Ubi, en Jean M. i la Colette i la Maria amb una exposició del Gamar. Tots disposats a entrar i fer feina.

Tots ells, els nostres referents i els vostres, els trobareu a classe. Però així que vagin arribant els nens i nenes desapareixeran silenciosament.

Tots ells treballaren per la millora i la innovació docent. No cercaren el seu protagonisme sinó que arriscaren per a deixar-nos un valuós llegat.

Tots nosaltres som avui hereus d’ aquest llegat. I tenim l’ oportunitat d’ anar més enllà, de fer-ho millor, d’ actualitzar-lo…i de fer-lo més gran.

Però la classe és vostre. I en ella vosaltres sou els referents immediats dels vostres nens i nenes.

Ells, els referents, i tots nosaltres som la bona gent de l’ educació matemàtica, que apostem per una didàctica millor que no és altre cosa que intentar que les nois i noies aprenguin més i més bé.

Gràcies per usar el llegat i per fer-lo créixer!

I com sempre recordem que:

LA MATEMÀTICA RIGUROSA ES FA AMB LA MENT,
LA MATEMÀTICA HERMOSA S’ ENSENYA AMB EL COR

Claudi Alsina & Carme Burgués