Matemàtiques i arquitectura

Arquitectura és estructura, funció i bellesa. Aquesta era la concepció clàssica d’aquest noble ofici i segueix essent avui totalment vàlida. L’Arquitectura té com a objectiu crear espais per a l’ús humà, donant formes i escales adequades a elements construïbles que permetin a les persones exercir unes funcions determinades. Així doncs creant edificis, rehabilitant habitatges, fent un jardí, dissenyant un hospital, ordenant un paisatge o planificant com ha de ser una àrea urbana, l’Arquitectura de qualitat contribueix al progrés personal i social.

Com ja es pot intuir d’aquest paràgraf introductori, l’Arquitectura és una disciplina complexa on s’hi barregen aspectes estètics i artístics, aspectes culturals i històrics, aspectes tècnics de caire molt divers (estructura, construcció, instal·lacions,…) i enormes dosis de creativitat per a fer possible projectes arquitectònics o urbanístics rellevants.

Malgrat que en el “fer arquitectura” hi conflueixen les contribucions de professionals molt diversos i hi ha molts arquitectes que s’acaben especialitzant en unes tasques concretes, l’estudi de l’Arquitectura a Espanya ha mantingut sempre una formació plural i generalista on els futurs arquitectes s’inicien a tots els camps possibles en la seva etapa universitària. Així doncs apareixen en els plans d’estudi (passats i presents) tant les disciplines pròpies de l’ofici d’arquitectura com d’altres coneixements matemàtics, físics, gràfics, econòmics, etc. que al marge de llur interès formatiu intrínsec es posen al servei de facilitar l’aprenentatge de les altres disciplines específiques.

L’objectiu d’aquest capítol no és entrar a descriure les matemàtiques pròpies dels plans d’estudi si no explicar en general quins aportacions de les matemàtiques són especialment interessants en Arquitectura.

A grans trets podem dir que la Geometria fa aportacions molt importants per a treballar en el pla i en l’espai, desenvolupant el pensament visual i la creativitat de les formes. Complementàriament el Càlcul dona estris per a abordar amb recursos adequats (de la trigonometria al càlcul numèric o el CAD) tot tipus de problemes de resolució quantitativa. En els següents apartats explicarem quins apartats de Geometria o Càlcul són més importants.

GEOMETRIA MÈTRICA

Aquest apartat clàssic de la Geometria amb les construccions gràfiques riguroses fetes amb regle i compàs (o amb d’altres instruments alternatius) és un valuós estri formatiu-compositiu per aprendre a fer traçats i transformacions, aproximant-se a les figures geomètriques més bàsiques, les escales, les proporcions i la composició o anàlisis de formes.

TEORIA DE LA PROPORCIÓ

En el marc de la Geometria Mètrica i els traçats amb regle i compàs s’associa a tot parell de mides a,b>0 la seva proporció P(a,b)=Màxim (a,b) / Mínim (a,b), resultant doncs quelcom invariant per homotècies. Així figures d’igual forma tenen idèntica proporció i per tant aquesta caracteritza, en certa mesura, a la forma en qüestió (és indiferent a l’escala).

Hi ha dues menes de proporcions rellevants en Arquitectura: les racionals o estàtiques (3/2, 5/4, 7/2,…) i les irracionals o dinàmiques de la forma (m+n√p)/r

De les proporcions racionals que són modulars i de gran tradició en el clasicisme ja va dir Vitruvi:

La simetria o proporció és una concordança uniforme entre l’obra sencera i els seus membres […] així com en el cos humà hi ha una proporció […] entre el colze, el peu, el palmell de la mà, el dit i les restants parts, ocorre igual en tota construcció perfecta.

Les proporcions irracionals, resultant de traçats (no modular) amb regle i compàs, més importants són del tipus√2, √3, √5… o el nombre d’or ø= (1 + √5)/2

La matemàtica de les proporcions és molt elemental però el concepte i el seu ús és, com veurem ara, tremendament potent des d’el punt de vista històric.

La teoria de la proporció forma avui un corpus doctrinal important dintre del marc general de les teories arquitectòniques. Aquesta teoria té uns objectius bàsics com són: la seva intencionalitat visual, consistent a crear un ordre aparent per repetició de figures semblants i la seva intencionalitat formal, basada, no en les formes mateixes, sinó en el ritme o relacions establertes entre tals formes.

De fet, la teoria de la proporció resulta de la síntesi de diverses aportacions disciplinàries:

a) Geometria: la proporció pressuposa medibilidad, comparança, traçats regulars, propietats de coordinabilidad, generació de malles fonamentals, etc.

b) Metrologia: la proporció, com “invariant» de la geometria de semblances, no fixa a priori les mesures reals dels objectes proporcionats. L’estructura i la utilitat no determinen tals mesures. Els conceptes metrològics tradicionals, estàtics o dinàmics, són els que marquen el dimensionat de les trames amb proporció.

c) Estètica: la proporció tradicional ha estat associada a un concepte geomètric de bellesa, agradabilidad visual, ritme.

d) Morfologia: la proporció en Arquitectura, Pintura, Escultura,… etc., ha estat estretament vinculada amb la morfologia de l’home.

e) Antropologia: els traçats proporcionats formen part d’un ús cultural concretat de forma diferent en distintes cultures i temps.

f) Història: tant la història de l’Arquitectura com la de l’Art en general i l’Arqueologia, història de la Música,… etc., aporten la documentació i la crítica, sense les quals seria impossible, entendre l’evolució en el temps de la teoria de la proporció.

g) Metafísica: aporta llum sobre la teoria de la proporció ja que aquesta disciplina conté, històricament, una dosi notable de metainterpretació, especialment pel que concerneix l’harmonia de les formes.

Partint d’aquestes diverses interpretacions s’entén que en el cas particular de la Arquitectura existeixin diverses característiques especials de la proporció: aquesta deu ser edificable, resultant dels agregats espacials de les formes arquitectòniques, deu conjugar-se amb l’aplicació d’efectes visuals constructius,… etc.

L’Arquitectura a Grècia van utilitzar tant proporcions commensurables (per exemple, l’ordre jònic es va basar en les raons 1/1, 2/1, 3/1,…) com incommensurables (ø, √5, √2, Ø,…). Però s’ha de tenir en compte que els edificis grecs eren dissenyats per a ser visualment perfectes, per la qual cosa les tècniques constructives amb il.lusions òptiques alteraven de fet de les proporcions “ideals» dels elements per a contrarestar les deformacions visuals. Tots els estudis sobre l’art grec que es van desenvolupar en el segle XIX (Penrose, Cockerell, Pennethorne,…) tendeixen a assenyalar la tendència grega visual cap a les proporcions estàtiques. En els Deu llibres d’Arquitectura del romà Vitruvi s’apunta també aquesta tendència, a través d’exemples sobre proporcions en els ordres grecs i sobre les mesures dels temples.

Durant l’Edat mitjana les concepcions estètiques de la proporció van ser considerades per Sant Agustí, Boeci, Casiodor i Sant Tomàs d’Aquino (“proporció o harmonia, plenitud i claredat determinen la bellesa»). Aquestes concepcions s’aproparen més a les interpretacions cosmològiques i a les analogies musicals que al desenvolupament de la proporció com element artístic. Les tendències constructives egípcies o les antropomètriques gregues van ser substituïdes per un estudi abstracte i esquemàtic de la proporció on no va faltar una abundant influència geometrizadora (és suficent recordar el plànol de St Gall, els dibuixos de Villard de Hounecourt en el s. XIII, les construccions de Roriczer o els estudis sobre polígons estrellats de Bradwardine).

Estudis del pare van der Laand i les tesis de Vila, Millán i d’altres han demostrat com el romànic català (especialment el temple de Sant Pau del Camp a Barcelona) és un cas típic de proporcions simples i de modulació sobre la base de la cana destre (2.81 m).

La geometrització en l’arquitectura gòtica apareix amb tota plenitud. En aquest procés va ocupar un paper fonamental la traducció dels Elements, de Euclides, feta en el s. XII, que aviat es va convertir en el text bàsic de formació geomètrica. La catedral de Milà pot ser un bon exemple de constructivisme gòtic i Santa Maria del Mar de Barcelona també. Geometria, simetria i proporció van trobar en les catedrals gòtiques un perfecte acoblament.

En el Renaixement, la proporció va deixar de ser el simple tecnicisme de la praxi constructiva medieval per a adquirir un rang superior: la proporció s’unia a la creença en la bellesa objectiva, s’establia l’analogia musical que generava la teoria harmoniosa dels traçats proporcionats, es redescubría el proporcionat geomètric de la figura humana, s’imposava la relació microcosmos-macrocosmos a través d’unes proporcions comunes… etc.; és a dir, la proporció renaixentista constitueix un neoplatonisme establert a partir de l’obra de Vitruvi.

Leon Battista Alberti (1404-1472) va ser l’home clau del sistema renaixentista de proporcions: redescobreix el cànon grec i en els seus dissenys d’arquitectura religiosa (Santa Maria Novella de Florència, façana; Santa Maria Maggiore i San Teodoro a Roma; Capella del Sant Sepulcre en San Pancracio de Florència; etc.), Alberti va incorporar bona part dels traçats reguladors clàssics. Fidel creient en l’analogia musical, en les proporcions edificatòries va fer estudis especials sobre proporcions de les habitacions: (1, 3/2, 4/3), (2, 9/4, 16/9), (3, 8/3, 4). Alberti és a més uneixo dels grans creadors de la perspectiva. En la línia de Alberti cap també ressaltar les aportacions al proporcionat humà i arquitectònic de Leonardo da Vinci (1452-1519) i Albrecht Dürer (1471-1528) (Durero). El tractat De Divina Proportione (1498), de Lucca Pacioli, va ampliar el sistema de proporció estàtica amb l’estudi de la proporció divina, estudi també considerat per Piero della Francesca i per Kepler.

Un ús constant de proporcions estàtiques pot apreciar-se en les obres d’Andrea Palladio (Vila Malcontenta, Vila Pisam, Vila Godi,…) on la simetria i les proporcions simples es veuen incorporades al disseny d’edificis privats. Giorgi, Temanza i Vignola són seguidors de les proporcions simples.

L’éxit de la teoria de la proporció experimentat durant el Renaixement va donar pas a un oblit absolut durant dos segles.

Al llarg del segle XIX es produeix una extensa contribució teòrica sobre la proporció. L’arquitecte Viollet le Duc va ser un prototip de la visió arquitectònica de la proporció; defensor de les “infinites variacions en l’aplicació de les lleis de la Geometria», va partir del principi que “els arquitectes de l’Antiguitat van seguir les fórmules aritmètiques en la composició dels seus ordres i els de l’Edat mitjana es van servir de triangles per a obtenir relacions harmòniques».

Durant el segle XX s’han produït contribucions notables, teòriques i pràctiques, a la teoria de la proporció. D’una banda un bon grup d’autors han desenvolupat importants tractats sobre proporcions: els estudis sobre Grècia i l’art gòtic de Lund i Moessel; els traçats exhaustius de Hambidge sobre proporcions dinàmiques i estàtiques; els estudis dels ritmes, els ritus i l’estètica del nombre d’or portats a terme per Ghyka; les investigacions sobre esquadres d’H. Roberts i sobre sistemes de plànols ortogonals de Lutzens; i a més les contribucions de Schooling, Cook, Speiser, Vantongerloo i, molt especialment, la de Wittkower.

Un altre impuls important va ser donat per l’Esprit Nouveau, el grup Effort Moderne, el moviment De Stijl i la Bauhaus. Si bé els seus plantejaments teòrics van ser molt diferenciats, va existir un especial interès cap a la proporció i les tècniques dels traçats reguladors en Arquitectura.

Però sens dubte, el Modulor de Le Corbusier marca el punt culminant d’aquest renaixement de la proporció. Le Corbusier enllaça en el seu Modulor l’estat teòric de les sèries proporcionals i el nombre d’or, la reconsideració del dimensionat humà i el problema de la industrialització de la construcció a nivell internacional. La contribució de Le Corbusier marcaria el moviment modern de l’Arquitectura,

Avui l’interès pels problemes de coordinació modular ha superat al de la teoria de la proporció, però donades les tendències actuals de racionalització del procés projectual i constructiu, segueix en molts casos l’ús general d’aquesta teoria.

Recentment, Alsina, Bonet, Faulí i Gómez han aconseguit aclarir per exemple les proporcions de la Sagrada Família, on Gaudí va usar un mòdul de 7,5 m i proporcions del tipus 1/4, 1/3, 1/2, 2/3, 3/4, 1. El coneixement d’aquest sistema de proporcions facilita en l’actualitat la construcció d’aquesta genial obra geomètrica.

I no podem acabar aquest apartat sense fer esment de la coordinació modular.

El terme mòdul té dos sentits diferents: el de unitat de mesura i el de factor numèric. El mòdul com unitat de mesura ja ha aparegut en aquesta lliçó: el ràdio de la columna helénica, el peu humà o el rostre, el modulor de 1,83 m o 6 peus…; en tots els casos la unitat o mòdul és la base per a compondre de forma rítmica, generant proporcions, fixant dimensions. Com factor numèric, el mòdul permet correlacionar els termes d’una sèrie amb els valors d’una gamma de dimensions, és a dir, el mòdul és el màxim comú denominador de les dimensions coordinades i alhora és la base per a generar tals dimensions.

El problema de la coordinació modular va sorgir amb motiu de la producció industrial internacional d’elements arquitectònics, buscant la fixació d’uns mòduls que poguessin garantir, alhora, factors tan contraposats com: màxim rendiment econòmic mitjançant la producció en sèrie, màxima facilitat d’acoblaments, independència dels sistemes metrològics locals,… i per sobre de tot, modulació susceptible de creativitat.

GEOMETRIA VECTORIAL

L’anomenada Àlgebra Lineal permet amb la introducció de vectors i matrius de nombres fer una descripció aritmètica del pla i de l’espai (Geometria Analítica de Descartes amb coordenades), estudia propietats euclidianes o projectives i aporta un llenguatge que tant dóna suport a la física com a les estructures (forces, càrregues, tensions, deformacions, moments,…). A principis del s. XX encara eren vigents els càlculs d’estàtica gràfica on la representació acurada dels vectors permetin fer càlculs estructurals en forma gràfica. Avui en dia i gràcies al programari computacional aquest llenguatge vectorial/matricial juga un paper fonamental per entendre i manipular els gràfics, els càlculs numèrics, els grans sistemes d’equacions lligats al càlcul d’estructures pel mètode dels elements finits, etc. El somni de Descartes és així és més viu que mai.

TEORIA DE LA SIMETRIA

En Geometria Euclídea hom considera en el pla o en l’espai les transformacions dites isometries o moviments rígids, és a dir, aplicacions que conserven les distàncies i per tant conserven totes les característiques mètriques de les figures (mides, formes, angles, etc.). Simplement usant aquestes transformacions hom considera el grup de simetria d’una figura com el conjunt d’isometries que deixen a la figura invariant i per tant les regularitats de la figura poden quedar retratades mitjançant l’anàlisi de la riquesa del seu grup de simetria o les peculiaritats d’aquest grup. És així com s’estudien les figures amb centre i grup finit de simetria (polígons regulars o polígons regulars orientats), les sanefes, els grups de simetria del pla o de l’espai, la teoria de mosaics, etc.

És especialment bell veure com els recursos geomètrics de classificació o generació de formes simètriques pot aplicar-se en molts apartats arquitectònics: mosaics per a terra, ceràmiques en parets, distribucions urbanes de mançanes, disseny d’objectes, plantes i façanes d’edificis, etc., servint doncs la simetria com a llenguatge d’anàlisi compositiva d’obres ja fetes (Alhambra de Granada, catedral de Milà, Eixample de Cerdà, obres de Palladio, dissenys de Leonardo da Vinci, creacions de Frank Lloyd Wright, obres de Foster o Calatrava, etc.) i com a llenguatge per a la generació de nous projectes.

També la teoria de la simetria geomètrica admet interessants incursions a la historia de l’Arquitectura tot veient com ha anat evolucionant aquest concepte.

Les primeres concepcions sobre simetria arquitectònica van identificar “simetria» amb “la proporció, l’equilibri i la bellesa». Aquesta equivalència mantinguda per Policleto, Plató i Pitàgoras, entre altres, va quedar perfectament enquadrada amb la definició que Vitruvi dona de simetria:

“La simetria, o commensuració és, precisament, el vincle harmònic de cadascun dels membres de l’edifici [ … ] és la correspondència proporcional [ …] de cadascuna de les parts considerades en si, respecte a la figura global de l’obra. Així com en el cos de l’home la qualitat de la euritmia està commensurada per l’avantbraç, el peu, el palmell de la mà, el dit i les altres parts, el mateix passa en el perfecte i complet edifici.»

Aquesta concepció va influir notablement en el Renaixement: Durero, Miquel Angel, Piero della Francesca, Paccioli, Leonardo da Vinci… van fer notables contribucions a la simetria sense deslligar mai aquesta del proporcionat de l’obra. La referència de Palladio: “entenc que els edificis deuen semblar un enter i ben definit cos en el qual un membre convingui a l’altre i tots els membres siguin necessaris a allò que es vol fer», sintetitza perfectament aquesta vinculació arquitectònica de simetria i proporció en el seu aspecte global.

Des dels gravats sumeris amb simetria bilateral, a les viles de Palladio amb sala central i habitacions ben situades (amb un caràcter centralitzador i simètric) tota una multitud d’exemples van anar marcant la constant reafirmació de la necessitat “simetria-proporció», en el seu aspecte global i sistemàtic: els temples grecs i romans, les termes i arcs de Roma, les basíliques cristianes, les capelles de Leonardo, les façanes modularment dissenyades en el Renaixement… etc.

Aquesta recerca constant del cànon i l’ordre amb simetria i proporció es va reflectir no només en els dissenys de les plantes i façanes sinó en tots els elements integrants de l’edifici: frisos, columnates, mosaics… En molts casos el tribut a la bellesa esteticista no es va correspondre amb l’adequació funcional, per això en tot aquest tipus de distribucions rigorosament simetritzades i proporcionades apareix més un culte al símbol i a l’harmonització que una intencionalitat resolutiva.

En Viollet-le-Duc trobarem ja una nova conceptualització de la simetria. Així, en el seu Diccionari d’Arquitectura s’afirma:

…simetria significa avui, en el llenguatge dels arquitectes, no un equilibri ni una relació harmoniosa de les parts amb el tot, sinó una similitud de parts oposades, la reproducció exacta, a l’esquerra d’un eix, del que hi ha a la dreta.

En el fons, l’anterior definició desmarca la teoria de la proporció de la teoria de la simetria, reduint aquesta al seu aspecte euclidià (simetries axials, girs… etc.) i suprimint el vessant equiforme (proporcions, modulacions i submodulacions … ). En aquest sentit, les composicions, al perdre l’exigència proporcionada, van gaudir d’una flexibilitat major: podien donar-se simetries locals, en zones o en elements, que en absolut condicionaven a la simetria global.

Per exemple, en les primeres dècades del segle XX, el moviment modern va apuntar cap a l’opció de distribucions d’elements més condicionades per criteris de funcionalitat i aïllament, creació d’espais intermedis…. etc., que no per criteris formals de simetria.

Avui en dia, difícilment pot parlar-se de concepcions simètriques genèriques: la simetria en Arquitectura i Urbanisme queda relegada a aspectes parcials. Es pot parlar de: simetria en els elements (arc, estructura, mobiliari … ); simetria en la distribució (accessos viaris a places, creixements urbans en filera … ); simetria en la creació d’imatges (“façanes mirall», llacs com miralls d’edificis …. ); simetria en la col·locació d’instal·lacions (centralizacions de serveis … ), etc.

En definitiva la “macro-simetria» resulta de la reunió de les “micro-simetries», havent-se alliberat aquest concepte de reunió de les exigències de sistemàtic acoblament i coherència externa, desenvolupades per les òptiques clàssiques de l’Arquitectura. En aquesta línia d’idees s’enquadra la definició de Bonelli:

L’ordre arquitectònic és un sistema d’elements morfològicament determinats, lligats per recíproques relacions sintàctiques per a formar una unitat orgànica.

TEORIA DE CÒNIQUES I QUÀDRIQUES

Moltes són les corbes i superfícies clàssiques que menen a formes planes i espacials construïbles i interessants en la creativitat arquitectònica. Entre aquest repertori de formes destaquen a l’espai les superfícies reglades formades per rectes i les corbes que en són seccions planes.

Les còniques són les corbes corresponents a polinomis de grau dos en dues variables, essent bàsiques el·lipses, paràboles i hipèrboles. Les quàdriques són les superfícies corresponents a polinomis de grau dos en tres variables, essent destacables les quadriques reglades com cons, cilindres, paraboloides hiperbòlics, hiperboloides d’una fulla, etc. o les de revolució com el paraboloide. Aquestes corbes i superfícies poden ser descrites en termes de Geometria sintètica considerant llocs geomètrics, propietats característiques, seccions planes, etc. (per exemple, les còniques són totes les seccions planes possibles de cons i cilindres). Però és remarcable que tant còniques com quàdriques són objectes classificables i que es poden estudiar usant de mètodes elementals de l’Àlgebra Lineal. L’escriptura dels polinomis de grau dos en termes matricials, els canvis de referència amb transformacions isomètriques i l’ús del procés de diagonalització de matrius són les tècniques claus per a la descripció algebraica d’aquestes corbes i superfícies.

CÀLCUL EN ARQUITECTURA

En la creació d’arquitectura hi conflueix un extens ventall d’intencions, coneixements i càlculs. Des d’aquell primer esbós, mental o gràfic, sobre la idea d’un projecte fins a la fi de l’obra que el materialitza, l’arquitecte posa en solfa multitud de recursos propis i fa possible la confluència, en una mateixa tasca, de molts altres professionals.

Hi ha arquitectes amb una enorme versatilitat personal per assumir tots els detalls possibles d’un projecte i d’altres més entregats al món de la. coordinació de feines. Naturalment, entre els dos extrems de l’arquitecte capaç de fer-ho tot i l’arquitecte que ho delega quasi tot hi ha una figura més normal que sap treballar bé, sol o en equip, per tal que la seva creació arquitectònica tingui un començament excitant, un desenvolupament equilibrat i un lliurament feliç. A aquesta figura de professional, àgil polivalent, s’afegeixen d’altres arquitectes especialitzats en camps molt concrets de arquitectura. Aquesta reflexió tan generalista era imprescindible en aquest punt per tal de poder meditar amb realisme sobre els aspectes del càlcul: no tothom ha de saber de tot, però si que hi ha coses que tothom hauria de saber.

A grans trets, podríem classificar els càlculs dels arquitectes en els tipus següents:

a) Càlculs constructius

Són els càlculs inherents a l’edificació en sentit estricte: la representació topogràfica del terreny, l’estudi de la mecànica del sòl, fonamentacions, moviments de terres, etc. fins arribar a la construcció efectiva de l’obra i el seu control de qualitat.

b) Càlculs estructurals

Són els propis de l’estructura de l’edificació i asseguren per sobre de tot la rigidesa de l’obra. En una subtil combinació de conceptes de mecànica, resistència de materials, equacions diferencials, càlculs de moments, torsions, flexions, etc., és possible crear aquesta estructura que sovint apareix dissimulada i maquillada per altres elements, pera sense la qual res no romandria dret.

c) Càlculs de condicionament i serveis

Integrats a l’edifici, hom troba un món complex d’elements elèctrics, mecànics, acústics, lumínics, calorífics. etc. Cal fer càlculs relatius a la integració en la construcció i càlculs sobre el funcionament específic dels elements en qüestió. Matemàtica, física i enginyeria troben aquí un bon camp per fer-hi aportacions i afrontar els nous reptes de sostenibilitat dels edificis.

d) Càlculs en projectes

El projecte, corn a element vertebrador de l’obra, ha de tenir en compte necessàriament la integració de totes les components i d’això deriven sovint càlculs específics: pilars, canonades, esteses de cables, envans, endolls, ascensors, etc. podrien esdevenir una barreja extranya si no hi hagués un disseny global de l’obra.

e) Càlculs gràfics

Les tècniques d’expressió gràfica contenen, de fet, un bou gruix de càlculs que acaben permetent la resolució gràfica dels problemes. Marcar un punt de fuga, distingir les escales convenients per presentar els diferents elements o fer palesa la forma d’una volta o d’una escala de cargol pressuposen un joc geomètric fi, no mancat ni de mesura ni d’altres components matemàtiques.

f) Càlculs legals

Les obres són realitzades en un lloc precís tenint en compte una normativa legal que en fixa limitacions molt diverses. Calcular fondàries edificables, alçàries, patis de llum, ventilacions mínimes, plans d’evacuació, resistències al foc, etc. són problemes difícils de resoldre, però inexcusables.

g) Càlculs de planificació

La realització efectiva d’un projecte sempre porta aparellada una bona planificació respecte dels diferents equips i professionals que hi intervenen, una regulació temporal imprescindible, i un càlcul econòmic acurat que faci l’obra viable i, si pot ser, rendible (!). Organigrames, grafs, sistemes d’organització, càlculs financers, càlculs actuarials, etc., són el nostre pa de cada dia (sense oblidar els càlculs d’assegurances) .

Per arribar a fer tot això cal desenvolupar moltes estratègies de càlculs:

(i) Calcular empíricament

Hi ha molts problemes pràctics que es resolen més adequadament amb la metodologia empírica, o dit d’una altra manera, la mesura directa, la consulta de taules i l’experimentació de taller poden donar respostes vàlides i precises a tots els efectes. 1 aquesta forma de procedir ha de ser reivindicada com a complementària i prèvia a altres procediments més abstractes o lligats a models més formals: si una distància es calculable amb cinta mètrica o amb teodolit no cal pas entestar-se a aplicar la fórmula de la distància entre punts expressats mitjançant coordenades, perquè aquestes, simplement, no hi són. Encara podríem dir més: l’ús d’una artilleria formal inadequada al problema pot resultar inútil o incoherent; si la superfície d’una habitació és calculable comptant rajoles en directe, ni calen pl~nols i canvis d’escala, ni cal aplicar la teoria de la integració.

(ii) Calcular comptant

Les quantitats de coses poden ser sovint de gran interès en molts problemes de càlcul. Comptar bé serà fer possible una assignació numèrica adequada a una col·lecció d’objectes o situacions. u ha casos obvis de comptar amb els dits (quantes illes de cases hi ha a l’Eixample?), hi ha casos que porten a establir recurrències o plantejar els comptes inductivament (quants rectangles hi ha en una quadrícula n x m?), i hi ha casos on la subtil màgia dels nombres s’ha d’unir al realisme empíric (quanta gent podem evacuar en deu minuts de la planta tercera d’uns grans magatzems? quants ascensors són raonables en un gran hospital amb onze plantes?).

(iii) Calcular amb trigonometria

Quan intervenen angles (escales, grades, aparcaments, sostres, terrenys, etc.) la trigonometria clàssica és essencial per a resoldre de problemes plantejats de mides, inclinacions, pendents, etc. La Geo-matemàtica, a cavall entre trigonometria i topografia, permet resoldre temes cabdals d’amidaments topogràfics indirectes.

(iv) Calcular funcionalment

Aquesta és la tècnica més fina d’establir coordenades, funcions, representar corbes i superfícies, calcular o afitar errors, fer càlculs aproximats, etc. El conjunt d’aquests models funcionals és el que tradicionalment s’ha anomenat Càlcul Infinitesimal o Anàlisi Matemàtica, essent una component bàsica del Càlcul de Resistència de Materials i d’Estructures on sovint molts paràmetres físics són definits en termes d’integrals (moments, centres de gravetats, càrregues, etc.).

(v) Calcular numèricament

Les tècniques clàssiques de calcular solucions d’equacions, calcular numèricament o resoldre sistemes d’equacions gaudeixen avui d’enormes facilitats computacionals. El Càlcul Numèric dona els estris per a resoldre mitjançant el programari i maquinari adequats aquests temes de resolució numèrica, tot enllaçant per exemple amb el càlcul per elements finits de les estructures.

TEORIA D’EQUACIONS DIFERENCIALS

En el marc de l’Anàlisi Matemàtica aquesta teoria de les equacions diferencials (ordinàries o en derivades parcials) modelitza molts problemes en termes d’equacions on una o diverses funcions incògnites (que apareixen amb derivades en l’equació) cal determinar. Problemes rellevants de bigues, de forjats, d’oscil·lacions, de difusió del calor, d’acústica, etc. porten a considerar aquestes equacions, moltes resolubles per mètodes directes i d’altres resolubles numèricament. És precisament la potència de càlcul actual la que permet resoldre sistemes grans d’equacions diferencials amb moltes equacions.

REPRESENTACIÓ COMPUTACIONAL

Per a formalitzar la generació d’elements arquitectònics es disposa avui de programaris molt sofisticats per a fer representacions gràfiques. En les tècniques de la Geometria Descriptiva clàssica i del Dibuix Artístic s’ha passat a uns sistemes d’expressió computacionals. Les matemàtiques han estat l’estri clau per a fer possible aquest programari i resulten imprescindibles per a poder entendre i realitzar gràfics generats per corbes i superfícies. Els temes dels sistemes de coordenades (cartesianes, polars, esfèriques, cilíndriques), el llenguatge de les funcions, la representació paramètrica de corbes i superfícies, corbes de Bézier, B-splines, NURBS, etc. i resultats bàsics de Geometria Diferencial i Descriptiva es posen avui al servei dels sistemes de representació.

Cal notar que hi ha avui potents programes per a càlcul automàtic d’estructures que a partir de totes les dades introduïdes visualitzen les característiques estructurals de les distribucions de càrregues i programes lligats al càlcul per elements finits.

En un nivell avançat de creació de formes lliures no clàssiques hom ha pogut aprofitar programes provinents del disseny de formes aerodinàmiques de cotxes i avions per a fer possibles edificis amb noves formes (valgui el museu Guggenheim de Bilbao com a exemple) emprant, per suposat, nous materials (com el titani, el plàstic, etc.).

MODELITZACIONS MATEMÀTIQUES

A partir de problemes reals que sorgeixen en Arquitectura sovint es poden formular models matemàtics que convenientment desenvolupats aporten solucions valides als temes inicialment formulats. En aquests processos de modelització poden aparèixer aportacions de moltes disciplines matemàtiques, Citem-ne alguns exemples.

La teoria de grafs mitjançant esquemes simples de punts i línies unint aquests punts ha permès modelitzar problemes de connexions urbanes (transport, recollides,…), temes d’accessibilitat en espais públics d’oficines, estudi de solucions planes o espacials d’edificis amb requeriments donats de connexió interior, etc. Als anys setanta la teoria de síntesi de la forma de l’arquitecte C. Alexander es va beneficiar de la teoria de grafs per a la seva formulació a la vegada que Alexandre es va inspirar en aquesta teoria per a formular les seves idees de connexions urbanes (arbres). Els grafs són essencials en la planificació d’obres (sistema PERT temps/costos i d’altres).

La teoria de la probabilitat i l’estadística tenen la seva presència en temes molt concrets: en els manuals de construcció (normatives de formigó per exemple), en manuals d’instal·lacions, en estudis de planejament urbà, en valoracions econòmiques, en programació d’obres amb atenció als costos i temps previsibles en les diferents etapes (sistema PERT), en temes de riscos laborals, etc.

La teoria de fractals ha captat l’interès de molts arquitectes com a formes generatives de plantes i façanes on es donen processos d’autosemblança (una part ampliada dona la forma total). També en l’anàlisi del creixement urbà s’ha emprat aquesta teoria.

RECERCA EN MATEMÀTIQUES APLICADES A L’ARQUITECTURA

Alguns problemes d’Arquitectura són una bona font de temes matemàtics que donen peu a fer recerca. En els darrers anys a la UPC s’han fet, per exemple, tesis doctorals i treballs sobre traçats de corbes i superfícies per ordinador, teoria de la proporció en l’arquitectura romànica, el nombre plàstic de van der Land, teoria de la proporció en 3D i en dominis convexes via equacions funcionals, aplicacions al càlcul d’estructures, teoria de grafs i distribucions urbanes, classificacions amb lògica borrosa i en gràfics de corbes i superfícies al servei de la representació d’elements d’arquitectura.

L’actual pla de recerca propi GEGXXI es dedica a la geometria de Gaudí, els pinacles i les voltes de la Sagrada Família.

REFERÈNCIES

APUNTS DOCENTS

Alsina, C., Jacas, J. I Tomás, M.S., Geometria en Arquitectura, Barcelona, Edicions UPC, 2007.

Alsina, C., Casabó, J., Jacas, J., Monreal, A., Tomás, M.S., Càlcul en Arquitectura, Barcelona, Edicions UPC, 2007.

ALGUNS LLIBRES DE REFERÈNCIA

Alsina, C.: Geometría cotidiana. Placeres y sorpresas del diseño, Ed. Rubes, Barcelona, 2005.

Ghyka, M. C.: Estética de las proporciones en la naturaleza y en las artes, Editorial Poseidón, S. L., Barcelona, 1977.

Holt, M.: Mathematics in Art. Studio Vista, Londres, 1971.

Le Corbusier: El Modulor. Ensayo sobre una medida armónica a la escala humana aplicable universalmente a la arquitectura y a la mecánica y Modulor 2 (1955). Los usuarios tienen la palabra. Continuación de “El Modulor» (1948), Editorial Poseidón, S. L., Barcelona, 1976.

March, L.: The Architecture of Form, Cambridge U. P., Cambridge, (Massachusetts), 1976.

March, L.; Steadman, P.: The Geometry of environment. Londres. RIBA. 1971.

Moore, Ch.; Allen, G.: Dimensiones de la arquitectura. Espacio, forma y escala, Editorial Gustavo Gili, S. A., Barcelona, 1978.

Pedoe, D.: La Geometría en el Arte. Ed. Gustavo Gili. Barcelona, 1982.

Puig Adam, P.: Curso de Geometía métrica, 2 vols., Biblioteca Matemática, S. L., Madrid, 1956.

Quaroni, L.: Proyectar un edificio. Ocho lecciones de arquitectura, Xarait Ediciones, Madrid, 1980.

Salvadori, M.: Why buildings stand up, WW Norton, New York, 1990.

Steen, L.A., et al.: -COMAP- Matemáticas en la vida cotidiana, Addisson-Wesley, UAM, Madrid, 1999.

Vitruvio: Los Diez Libros de Arquitectura, Editorial Iberia, S.A., 1960.

INTERNET

http://www.bc.edu/bc_org/avp/cas/fuart/archweb_links.html

http://www.greatbuildings.com/gbc.html