INTRODUCCIÓN

Muy a menudo, la formalización precipitada o el planteamiento de problemas de ficción no facilitan a los estudiantes la posibilidad de conectar realidad con Matemáticas, de desarrollar una intuición previa o realizar una experimentación inicial. Ello tiene implicaciones negativas para el desarrollo de los procesos cognitivos y en particular para sentar las bases de una formación competencial.

El desarrollo curricular de un “programa oficial” ha marcado durante décadas las actividades de la clase de Matemáticas. Esta circunstancia no solo ha favorecido un desarrollo temático muy tradicional sino que ha posibilitado, en muchos casos, el planteamiento pedagógico perverso de fijar como gran objetivo docente el “desarrollo de todo el programa” y la correspondiente “evaluación de lo dado”, olvidando que el gran objetivo es la formación matemática de cada una de las personas de la clase, o sea, el desarrollo máximo de sus capacidades cuantitativas.

 

MENOS TIZA, MENOS SÍMBOLOS, MENOS PALABRAS…

Con esta provocativa afirmación, expresada casi en forma de súplica, les quisiera invitar a ir aparcando el modelo docente tradicional de explicaciones en la pizarra, bien arropadas de simbología y de carácter magistral para tender a explorar nuevas formas de comunicación y, lo que es más importante, nuevas estrategias para captar el interés y motivar hacia el estudio de las matemáticas. Así no nos las enseñaron a nosotros pero en los albores del siglo XXI no podemos seguir apostando por un modelo docente que ni funciona ni conecta.

 

MÁS APLICACIONES: COMPETENCIAS Y REALISMO

La actual tendencia a formular los objetivos docentes en relación a grandes competencias, puede ayudar a superar las programaciones clásicas, dando lugar a un desarrollo más transversal e interdisciplinario, organizado alrededor de centros de interés realmente motivadores.

El desarrollo competencial debería asegurar como mínimo determinadas capacidades para abordar, de forma inteligente, temas absolutamente cotidianos. La siguiente lista resume las grandes competencias matemáticas a las que conviene prestar especial atención:

  • Resolución de problemas: tener habilidades para resolver problemas típicos de la vida normal de las personas relacionados con el hogar, la economía familiar, la salud, la ecología, el diseño, el transporte, etc.
  • Pensamiento avanzado: particularizar resultados generales matemáticos a casos concretos planteados por la realidad, conjeturar soluciones alternativas a problemas reales, organizar información y reconocer patrones, imaginar diferentes soluciones o alternativas a problemas,…
  • Modelización: tener la capacidad de matematizar situaciones cotidianas, describir diferentes modelos matemáticos que se correspondan con diseños o soluciones a problemas planteados, confrontar los resultados matemáticos con la realidad y reformular la matematización planteada,…
  • Representación: Interpretar planos, entender instrucciones gráficas de montaje de aparatos o muebles, representar gráficamente planos, aplicar técnicas descriptivas gráficas,…
  • Razonamiento: aplicar los distintos tipos de razonamiento matemático (deductivo, inductivo, proporcional, espacial, plausible, etc.) a situaciones y problemas que se presentan en la vida de las personas.
  • Uso de instrumentos: Saber usar todo tipo de electrodomésticos, conocer la lectura de todos los contadores caseros, usar calculadora para realizar cálculos, usar aparatos para bricolaje, conocer el funcionamiento y reparación de los mecanismos típicos del hogar o lugar de trabajo (depósitos, alarmas, instalaciones,…)…
  • Formalización: Tener la capacidad de aplicar los recursos formales propios de la matemática (números, funciones, símbolos, gráficas,…) a situaciones reales, saber codificar y descodificar mensajes o informaciones.
  • Comunicación: saber mantener diálogos inteligentes con las personas y profesionales que integran nuestro entorno, saber expresar fielmente las ideas y soluciones propias poniendo en juego los recursos cuantitativos, gráficos y cualitativos de índole matemática, etc. con especial referencia a los sistemas básicos de medida,…

Es en relación al desarrollo de todas estas competencias que aquí nos interesa comentar el papel que los objetos cotidianos pueden jugar como materiales para la clase.

 

OBJETOS COTIDIANOS EN CLASE DE MATEMÁTICAS

Lo que vamos a reivindicar aquí es el interesante uso en clase de unos materiales (¡gratis!) que tenemos a nuestra disposición: los objetos cotidianos. Estos materiales se encuentran en los mercados y en muchas casas, poseyendo algunos de ellos características culturales interesantes.

En la siguiente tabla hemos recopilado una breve lista que ejemplifica la colección de estos materiales con cierto interés matemático, especialmente a nivel de Geometría, Medidas, Estadística, etc.

MATERIALES QUE SON OBJETOS COTIDIANOS
Objetos de cocina Ollas, sartenes, sacacorchos, abridores, vertedores, cafeteras, cubiertos, vasos, copas, platos, bandejas, cántaros…
Objetos relacionados
con alimentación
Botellas, tapones, roscas, latas, cajas envoltorio, Tetra Bricks, Tetra Packs, sobres, caramelos, bolsas, carritos, frutas, verdura, carnes, pescado,…
Objetos de escritorio Plumas, tinteros, bolígrafos, lápices, clips, espirales, grapadoras, clasificadores, carpetas, equipo informático, flexos,…
Objetos eléctricos Televisor, video, reproductor DVD, cadena musical, antenas, neveras, secadores, aire acondicionado, calefacción, lavadora,…
Objetos de bricolaje Martillo, tenazas, clavos, alambres, pinzas, bombillas, cintas métricas, taladradora, maderas, corcho,…
Objetos caseros Mesas, sillas, sillones, camas, armarios, vitrinas, escritorios, lámparas, alfombras, adornos, cuadros,…
Objetos de ocio Pelotas, palas, bolos, pesas, cuerdas, mochilas, raquetas, esquíes, máquinas fotográficas, videos, juegos.

Sobre estos objetos los alumnos pueden trabajar en su casa o el profesor puede tener ejemplares preparados especialmente para la clase. Su uso docente presenta unas virtudes sobre las que vale la pena reflexionar:

1ª Son objetos reales y por tanto útiles
Este es un punto clave. Su presencia continuada en los hogares hace que casi nadie les preste atención como objetos cuyas formas y funcionalidades son un resultado elaborado del diseño con enormes componentes matemáticas. Si lo que se pretende es hacer visible la matemática nada mejor que estos objetos para descubrir su omnipresencia.

2ª Son objetos culturales con historia
Estos objetos esconden en su forma final actual lo que ha sido, normalmente, el resultado de un largo proceso evolutivo, donde criterios de racionalidad y optimización han llevado a versiones minimalistas suficientes. Ello debe permitir un trabajo interdisciplinario donde confluyan matemáticas, plástica, ciencias sociales, etc.

3ª Son objetos que pueden motivar problemas matemáticos
A partir de estos objetos cabe formular problemas matemáticos de todo tipo de evidente interés personal, social o industrial. Desde el control de calidad de lo producido en serie, la codificación y descodificación de informaciones impresas, problemas de plegado, apilamiento o transporte, problemas de medidas, tallas, etc., etc., etc. Esta es la principal virtud que justifica nuestro interés en el tema.

Ejemplo 1:La lata
En el siglo XIX nacieron las latas. El reto inicial de las latas fue el material a usar (algunas pesaban más que el contenido) pero el gran problema fue como abrirlas. Se considera al comerciante británico Peter Durand como el inventor de la lata (de hojalata) en 1810 pero éste nunca se preocupó del abrelatas. El problema del material fue resuelto evolucionando del hierro inicial a un acero o aluminio más ligero y a una producción metálica fina. El problema de abrir latas tuvo que vivir una larga evolución, desde 1810 a 1858. (Resultó inadmisible el uso de bayonetas y rifles y disparos, para abrir las latas).

Con un abridor tipo hoz de segar, debido a Ezra Warner se inicia en 1858 la pequeña historia de los abrelatas. En 1870, William Lyman produce un abridor más ligero con ruedecitas incorporadas que tanto ayudan a la vuelta al ruedo del mecanismo como al recorte de la tapa. En 1907 aparece un pesado abridor (“cabeza de toro”) cercano a la idea de tenaza el cual evolucionó hacia los modelos ligeros actuales donde siempre hay ranura de apoyo y mini-sierra de corte.

A mitad del s. XX con latas ligeras de aluminio aun era preciso poseer un abridor al margen de la lata o ingeniárselas para abrir con insólitos aparejos. Más tarde los aros-tiradores y sus tapas o porciones de los mismos inundaron el mundo, afectando gravemente a su ecología. Así pues en las últimas generaciones de latas de bebidas el “aro” ha evolucionado a un “pulsador” cuya presión abre parte de la tapa sin que nada se desprenda de ella.

La forma cilíndrica es la que más se produce para latas: es ergonómica (fácil de agarrar), es agrupable y transportable, es de fácil producción, etc.

Matemáticamente es bien conocido el hecho de que si una lata cilíndrica de Cola debe contener 0,3 litros o sea 333.333,3 mm3 y la tapa debe ser el triple de gruesa que la base entonces si R indica el radio de la tapa y H su altura deben satisfacerse las relaciones de volumen fijo (πR2H=333.333,3) y procurar que el aluminio de espesor 0,508mm que se usa sea mínimo, es decir, que 0,508π(2πRH+πR2+3πR2) tenga el valor más pequeño posible. En estas condiciones resultan óptimas las medidas R=30mm y H=118mm. Este cilindro ideal está muy cercano al existente. 

Un bonito problema es el siguiente: Tiene 48 latas cilíndricas de altura h y diámetro d, y una caja de altura h, longitud 8d y anchura 6d. ¿Sabría colocar las 48 latas en esta caja? ¿Y 50 latas?.

 

Ejemplo 2:Un taladro
Un hecho geométrico relevante es que junto a la circunferencia hay muchas otras curvas de anchura constante… y por tanto muchos otros cilindros rodantes no-circulares. La clave es la construcción del triángulo de Reuleaux.

Partiendo de un triángulo equilátero de lado l, se trazan los tres arcos de radio l que tienen sus centros en los vértices del triángulo y unen los otros dos vértices opuestos. Esta curiosa construcción del ingeniero alemán Franz Reuleaux (1829-1905) puede hacerse también partiendo de muchas otras figuras no triangulares (por ejemplo, cualquier polígono regular con un número impar de lados).

Las curvas de anchura constante sirven bien como tapaderas, para ollas o para pozos, etc. La razón es muy simple: su anchura constante les imposibilita caer por un agujero que tenga su forma y sus propias dimensiones. Una tapa cuadrada puede caer dentro de su prisma asociado pues el lado del cuadrado es muy inferior a su diagonal. El ingeniero inglés Harry James Watts usó el triángulo de Reuleaux convenientemente recortado para fabricar la forma de un taladro para cortar agujeros cuadrados (!), algo tan simple que nadie había resuelto hasta entonces. La amplitud constante que permite a esta forma girar alrededor de un cuadrado sirve en esta aplicación para vaciar a éste. También si parte de un pentágono regular y construye el pentágono de Reuleaux asociado, sus cinco arcos determinan una curva de anchura constante que puede moverse perfectamente dentro de un hexágono regular (donde cualquier lado es paralelo a su opuesto). Así con el taladro terminado en forma del pentágono de Reuleaux podrá hacer agujeros hexagonales (!).

Fije ahora la atención en las “cabezas” de los tornillos. Si bien hay algunas redondeadas con una hendidura en forma de estrella que obligan a usar un destornillador especial, la mayoría de hendiduras de los tornillos son rectas permitiendo usar destornilladores acabados en cuñas rectas. Esta sencillez que permite “colocar” diversos tornillos con diversos destornilladores tiene el enorme inconveniente de dar alas al gamberrismo destornillador: con destornilladores mini, con monedas, con cuchillos o tenedores, etc. es posible sacar tornillos y desmotar los objetos que éstos tornillos mantienen sujetos. ¿No sería posible diseñar una cabeza de tornillo que solo pudiese desmontarse con un destornillador profesional adecuado? Este problema fue planteado y resuelto por el gran inventor de New York, J. Rabinov. Autor de libros y de muchísimas patentes, Rabinov tuvo la genial idea de pensar cabezas cilíndricas gruesas de tornillos donde el hueco fuese un cilindro en forma de triángulo de Reuleaux (!). En efecto, un destornillador recto normal o no entraría, o bailaría dentro del hueco y solo uno adecuado con el perfil del triángulo de Reuleaux podría sacar y reponer el tornillo.

 

Ejemplo 3:Un lápiz
Las minas inglesas de grafito en Borrowdade permitieron a los ingleses ser los mejores productores de lápices durante tres siglos (1560-1860). Producciones alternativas tuvieron lugar en Alemania a partir de 1662 y en Francia a partir de 1795. Cuando llegó el proceso de industrialización entonces fue posible la producción masiva de lápices.

Si bien la parte de madera tuvo unas versiones artesanales de base cuadrada o cilíndrica, la popularización de la forma cilíndrica de la mina no llegó hasta el siglo XIX. Las formas modernas de los lápices han sido: minas cilíndricas y maderas cilíndricas o hexagonales. Ambas formas externas son fáciles de manejar con la mano y se acoplan bien entre ellas.

En el caso del lápiz hexagonal, una vez “hecha la punta” aparece inexorablemente una forma de cono y entre este cono y las 6 caras verticales del lápiz aparecen 6 pequeñas curvas. ¿Qué curvas son? Al ser las curvas intersección de un cono con un plano paralelo a la mina (eje del cono) se trata de ramas de hipérbola. Estas ramas hiperbólicas también las observará cuando cerca de una pared tiene una lámpara de pie con su pantalla cilíndrica. El cono de luz determinado por la bombilla y la circunferencia superior de la pantalla al “cortar” visualmente a la pared vertical marca un perfil hiperbólico de sombra-luz.

 

MÁS IMÁGENES

En este apartado reivindicaremos la necesidad de tender a una intensificación en los procesos de visualización: imágenes para entender mejor las matemáticas. No se trata de ilustrar sino de entender mejor.

 

LAS IMÁGENES TANGIBLES: EL MATERIAL

En el desarrollo histórico de la Matemática se encuentran infinitos ejemplos de conceptos o resultados matemáticos que han sido fruto de procesos experimentales. En el estadio final de formalización, la exposición austera del razonamiento deductivo tiende a eliminar cualquier referencia a los razonamientos plausibles previos. Pero éste es un hecho que solo explica el interés estético por un discurso auto-contenido y formal pero nada tiene que ver con el largo proceso creativo, anudado en la observación que subyace al avance de las grandes ideas. Esta componente experimental de la propia Matemática, necesaria para el propio desarrollo de la disciplina, debe formar parte destacada de las estrategias docentes para un mejor aprendizaje: para motivar el estudio, para desarrollar la intuición y para facilitar su comprensión.

En la primera mitad del siglo XX diversos movimientos de renovación pedagógica apostaron por el material manipulable para enriquecer la labor docente. Valga como botón de muestra el prólogo con que Pedro Puig Adam inició uno de sus libros:

Aquí te presentamos, lector querido, a los que han de ser durante este curso tus compañeros de trabajo: unas tijeras, un ovillo de hilo, una regla, un par de escuadras, un compás, un rollo de papel de calco, unos cartones, un paquete de lápices y un montón muy grande de hojas de papel.

Ni un solo día debes empezar la lección de Geometría sin tener al lado estos tus buenos compañeros, ni terminar de estudiarla sin dejar tu mesa materialmente llena de recortes y de papeles con figuras.

Si alguna vez el libro te hace pensar, no lo desdeñes, pues es entonces precisamente cuando mayores beneficios te proporciona. La Geometría empezó siendo casi un juego y ha resultado, andando el tiempo, el edificio racional más hermoso y perfecto que ha construido el pensamiento humano.

Hoy debemos tener un Laboratorio de Matemáticas en todos los centros.

 

LAS IMÁGENES VIRTUALES

El desarrollo afortunado de las imágenes por ordenador, el salto del video al DVD, el nuevo software para representaciones (Cabri 3D, Geometry Sketchpac, Cinderella, Geup, Mathematica, Maple, Mathlab, Geobra,…) y las potencialidades de Internet… nos han situado hoy, mejor que nunca, para poder disponer de recursos audiovisuales (dotados en muchos casos de interactividad). Esto podría inducir a creer que el uso de los materiales manipulativos ya no será necesario al poder ser reemplazado por las correspondientes imágenes 3D. Pero esto no es así y no debe ser así. Ni el cine ha anulado el interés por el teatro, ni los documentales han hecho desaparecer los viajes, ni las videoconferencias han substituido a los congresos. Los nuevos recursos audiovisuales enriquecen y complementan el laboratorio de Matemáticas, pero la manipulación directa sigue siendo esencial cuando estamos pensando en el entorno, en el conocimiento de la realidad. Un cubo virtual no será nunca una caja para un regalo. Ni el visionado de un video didáctico substituirá la presencia humana del profesorado.

 

IMÁGENES QUE SON DEMOSTRACIONES SIN PALABRAS

En los estándares del NCTM del 2000 figuran: la resolución de problemas, el razonamiento, la demostración, la comunicación, las conexiones y la representación. Todos estos estándares requieren el desarrollo del pensamiento visual y por tanto el trabajo en clase de prácticas y estrategias que faciliten este proceso. A la visualización inteligente debe prestarse especial atención en clase.

Las técnicas de visualización pueden ser una herramienta valiosa para facilitar el desarrollo del pensamiento visual de los estudiantes de matemáticas en todos los niveles. Combinando los pensamientos deductivos e inductivos, con el pensamiento visual lograremos aportar a los estudiantes una aproximación a las matemáticas mucho más simple y entendible.

En apuntes o libros y en el rincón de la pizarra (o mejor en el centro de ésta) podemos visualizar conceptos y resultados, paso a paso, procurando imágenes que junto a las palabras precisas permitan una mejor comprensión de las matemáticas y más rápida.

Muchos resultados de investigación en Educación Matemática (De Villiers, P. Richard, G. Hanna, A. Sierpinska, D. Tall, J.H. Mason, M. Niss,…) avalan el interés pedagógico del aprender a demostrar. Las siguientes afirmaciones de G. Hanna y H.N. Jahnke son de especial relevancia:

…una demostración explicativa en la matemática escolar… debe ser tal que no solo muestre la verdad de sus afirmaciones sino que también ayude a entender porque dichas afirmaciones son ciertas…

es decir, hay que mirar especialmente las demostraciones que aporten “conocimiento”, que enriquezcan lo que se está considerando.
Las demostraciones interesantes no sólo tienen el valor de verificar la validez de resultados sino que contienen diversos valores añadidos (D. Villiers):

  • Explican el porqué de un resultado
  • Permiten descubrir nuevas propiedades (generalización, restricción,…).
  • Facilitan la comunicación de significados
  • Constituyen un reto intelectual
  • Sistematizan y ordenan conceptos y resultados.

Por eso Yahuda Rav enfatiza el “valor que debe darse a la demostración” por encima del “valor que debe otorgarse al teorema” en sí.

Ejemplo. 2(1+2+…+n)=n2+n

menos tiza

 

 

Ejemplo. Para todo a, b > 0 esmenos tiza

 

menos tiza

 

Ejemplo. Si a,d>0 es a+(a+d)+(a+2d)+…+(a+(n-1)d) = n(2a+(n-1)d)/2.

menos tiza

 

Ejemplo. Si a>b>0, a³ – b ³ = (a – b)(a² + ab + b²).

menos tiza

 

Ejemplo. Con cinco cortes se puede dividir un pastel (con forma de caja) de manera que los cinco puntos tengan igual peso, igual superficie de arriba e igual superficie del lado del pastel.

menos tiza

 

MÁS ACCIONES.

Hemos hablado de realismo y de visualización pero todo esto debe ser compatible con una dinámica de la clase que resulte atractiva, seductora.
Especialmente en los niveles más elementales debemos aprovechar la enorme imaginación de los estudiantes, su capacidad para desarrollar el pensamiento fantástico. Y en niveles más avanzados la capacidad de desarrollar lo que ha venido a llamarse el pensamiento romántico. En este sentido les animo a explicar cuentos e historias imaginativas, anécdotas matemáticas que humanicen a sus creadores, fragmentos de historia de las matemáticas….y incluso canciones. Hay mucho material en inglés que puede aprovecharse para trabajar a la vez matemáticas e idiomas. Por si acaso les incluyo dos letras para cantar:

TEOREMA DE PITÁGORAS
1 Un conocido pensador
viajando por Egipto
un triángulo encontró
con lados: tres, cuatro y cinco.
2 Viva el triángulo,
rectángulo y señor
Viva el triángulo
medible con amor.
3 Sobre el ejemplo meditó:
¡recto era el ángulo!
y lo generalizó
al triángulo rectángulo.
4 Viva el triángulo,
rectángulo y señor
Viva el triángulo
medible con amor.
5 Los cuadrados calculará
de los catetos que ahora usa
y el cuadrado obtendrá
del lado hipotenusa
6 Viva el triángulo,
rectángulo y señor
Viva el triángulo
medible con amor.
7 Pitágoras nos dejó
una verdad fabulosa
para poder hacer
Geometría rigurosa
8 Viva el triángulo,
rectángulo y señor
Viva el triángulo
medible con amor.

SUMANDO ESPERO
Sumar es un placer, genial, sensual,
Sumando espero, la suma que yo quiero
Con numerales todos verticales
Y mientras sumo mi tiempo yo consumo
Porque el sumar a mano me suele adormecer
Tendido en la cheslón, sumar, llorar,…
Ver la calculadora, lista y sumadora
Sentir sus teclas sumar con buenas reglas
Y el resultado sentir que se ha acabado
Cuando sus cifras veo arriba aparecer
Por esto estando con ella
es el sumar un edén
Dame la suma de tu memoria
Suma que así me vuelves loco
Corre que quiero enloquecer de aprender
Sintiendo ese placer del rápido poder
Que acaba por prender…
…la llama ardiente del saber

A MODO DE EPÍLOGO

Para hacer todo lo que aquí se propone necesitamos ir a clase con mochila, con bolsas, con maletas,… para colocar todos estos objetos reales con los cuales favorecer el aprendizaje por modelización y aplicaciones. A pesar de todo, esta colección de materiales y el desarrollo de matemáticas realistas, ligado al contexto, aun siendo conveniente no es suficiente. Hay que poner algo más en la mochila: emociones para la clase, mucha ilusión en nuestro trabajo y grandes dosis de esperanza. Muchas esperanzas en el mundo futuro, en este siglo XXI y en su gente. Esto es lo que la sociedad merece y esto es lo que la educación debe ofrecer.

Muchas gracias por ir a clase cada día con más aplicaciones, con más imágenes, con más acciones y con menos tiza, con menos símbolos, con menos discursos… y con ¡alegría!.

Y como siempre recuerden mi lema:

La Matemática rigurosa se hace con la mente,
la Matemática hermosa se enseña con el corazón.

¡Gracias!

 

REFERENCIAS

  • Alsina, C., Nelsen, R., 2006, “Math Made Visual. Creating Images For Understanding Mathematics”, The Mathematical Association of America, Washington.
  • Alsina, C., 2004 .Geometría Cotidiana. Placeres y sorpresas del diseño, Editorial Rubes, Barcelona.
  • Alsina, C., 1998, Neither a microscope nor a telescope, just a mathscope, in P. Galbraith et al. (eds.), Mathematical Modelling, Teaching and Assessment in a Technology. Rich World, Chichester: Ellis Horwood, 3-10.
  • Alsina, C., Burgués, C.; Fortuny, J.M.; Giménez, J.; Torra, M., 1996, Enseñar Matemáticas, Graó, Bacelona.
  • De Guzmán, M., 1996, El rincón de la pizarra. Ensayos de visualización en Análisis Matemático, Pirámide, Madrid.
  • De Villiers, M., 2003, The Value of experimentation in Mathematics. Proceedings 96h Nat. Cong. AMESA, Cape-Town, 174-185.
  • Hanna, G. and Jahnke, H.N., 1996, Proof and Proving. In: International Handbook of Mathematics Education (eds. Bishop, A.J. et al.), Dordrecth: Kluwer, 877-908.
  • Henn, H.-W. and Blum, W. (eds), 2004, ICMI Study 14: Applications and Modelling in Mathematics Education, Pre-conference Volume, Univ. Dortmunt (ISBN 3-921823-28-5).
  • NCTM, 2000, Principles and Standards for School Mathematics. Pub. Nat. Council of Teachers of Mathematics, USA.
  • Nelsen, R.B., 1993, Proofs without Words: Exercises in Visual Thinking, MAA, Washington. Versión española en Proyecto Sur, 2001, Granada.
  • Nelsen, R.B., 2000, Proofs without Words II: More exercises in Visual Thinking, MAA, Washington.
  • Pólya, G., 1954, Mathematics and Plausible Reasoning: Induction and Analogy in Mathematics. Vol. I, Princeton: Princeton University Press.
  • Pólya, G., 1981, Mathematical discovery: On understanding, learning and teaching problem solving (2 vols., combined ed.) New York: John Wiley & Sons.
  • Senechal, M., 1991, Visualization and Visual Thinking, in (Malkevith 1991) 15-22.

  • Tanton, J., 2001, Solve this. Math activities for students and clubs. MAA, Washington.

Sec. Matemáticas e Informática
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