El realismo en educación matemàtica y sus implicacions docentes

El objetivo de esta ponencia es realizar una reflexión sobre la realidad como referente para nuestra actuación docente, prestando especial atención a las falsas realidades tan presentes aun en nuestra enseñanza e indicando las características deseables del realismo educativo.

 

¿EXISTE LA REALIDAD?

Una de las características humanas es la capacidad de complicar cualquier asunto por simple que éste sea. El caso de la “realidad” es un buen ejemplo. Intuitivamente, el concepto de “realidad”debería ser absolutamente trivial para todos nosotros dada nuestra condición de usuarios permanentes. Sin embargo, las mentes más lúcidas nos han puesto de manifiesto que definir la “realidad” es un reto de gran complejidad intelectual.

Ya Heráclito no lo veía claro:

“A la realidad le gusta esconderse”,

y Albert Einstein muchos siglos después seguía buscándola:

“La realidad es una ilusión, pero muy persistente”.

P.K. Dick admitió creencias variables con el tiempo:

“La realidad es aquello que cuando dejas de creer en ello, no desaparece”,

y para matriz el asunto es aún más complicado:

“La realidad podrían ser señales eléctricas, interpretadas por el cerebro”

concepción no alejada del popular dicho:

“Llamamos realidad a todo lo que percibimos… y así nos va”

Algunos como T. Clanay contrastan realidad con un antónimo:

“La diferencia entre la ficción y la realidad es que la ficción ha de tener sentido”,

y suerte que aun existan desengañados como Woody Allen que conservan cierta dosis de esperanza:

“Odio la realidad pero se que aun es el único lugar donde puede encontrarse un buen bife”.

Filósofos, cineastas, neurocientíficos, novelistas y un largo catálogo de profesionales pueden permitirse el lujo de jugar con la realidad dado que en este juego es precisamente donde hallan oportunidades para su sustento. Pero nosotros, como docentes matemáticos, no podemos renunciar a una definición precisa y operativa de realidad sobre la cual tenga sentido la matematización. En esta ponencia adoptaremos la definición dada en el reciente ICMI Study sobre Aplicaciones y modelización en la enseñanza de las matemáticas:

Entendemos por mundo real todo lo que tenga que ver con naturaleza, sociedad o cultura, incluyendo tanto lo referente a la vida cotidiana como a los temas escolares y universitarios y disciplinas curriculares diferentes de las matemáticas

Esta “realidad”, de la cual formamos parte, es la que necesitamos considerar para el desarrollo matemático en las aulas. Sin embargo no siempre la tenemos presente y aparece…

 

EL TIMO DE LAS REALIDADES MATEMÁTICAS

Nos interesa en este apartado desenmascarar con detalle aquellas referencias a “realidades”que pueden confundir substrayendo el interés por su conocimiento. Estas realidades matemáticas abundan en nuestras explicaciones y forman parte prominente de nuestros libros de texto, convirtiendo lo que debería ser una motivación para unas matemáticas activas en un artificio para consagrar unas matemáticas pasivas:

 

Realidades falseadas y manipuladas

Son situaciones aparentemente realistas cal contar con palabras y datos de uso cotidiano) pero deformadas o cambiadas para poder dar lugar a ejercicios matemáticos rutinarios. Se trata de una preparación “ad-hoc”justificada por motivos pedagógicos:

Ejemplo (Edades de hijos). Un amigo le pregunta a otro: -¿Cuántos hijos tienes y de qué edad?. La respuesta: -Tengo tres hijos. El producto de sus edades es 36 y su suma es el número de esa casa… -¿Y qué más? –dice el primero- ¡Ah! Es verdad –responde- la mayor se llama Alicia. 

 

Realidades inusuales

Son situaciones de carácter excepcional o muy poco frecuentes que aparecen como si fueran presentes cotidianamente.

Ejemplo. Primero rodeamos la Tierra con un hilo ajustado a su superficie(supuesta lisa, claro está), y después añadimos 6 m. más de hilo, con lo que la circunferencia formada será ahora mayor que la de la Tierra y se separará una cierta distancia de su superficie. ¿De cuánto será esta separación?

 

Realidades caducadas

Se trata de situaciones ya pasadas, en general irrepetibles, que algún día fueron de actualidad pero que el paso del tiempo ha hecho desaparecer. Para los estudiantes del siglo XXI son ya ficciones históricas.

Ejemplo. El dueño de un comercio solo tiene una balanza de cocina para pesar 10 kg. Si un aprendiz debe pesar un peso superior ¿cómo lo hará para complacer a su dueño?

 

Realidades lejanas

Escenas de culturas alejadas, hechos exóticos, folklóricos y curiosos que en absoluto se identificaran con las realidades locales actuales.

Ejemplo. Los misioneros y los caníbales. Tres misioneros y tres caníbales han de cruzar un río en una barca en la que sólo caben dos personas. Los tres misioneros saben remar, pero sólo uno de los caníbales sabe hacerlo. Por otra parte, han de efectuar el traslado de forma que en ningún momento los caníbales superen en número a los misioneros, pues en tal caso se los comerían. ¿Cuál es el mínimo número de viajes que habrán de efectuar para cruzar todos al otro lado sin que los caníbales se coman a ningún misionero, ni lleguen siquiera a mordisquearlo?

 

Realidades no adecuadas

Son situaciones no adecuadas a la edad y circunstancias de los estudiantes o no correctas al poder confundirlos o ofenderlos. En general, ni son positivas ni son interesantes.

Ejemplo (La estadística del misántropo). El 70% de los hombres son feos. El 70% de los hombres son tontos. El 70% de los hombres son malos. ¿Cuál, es como mínimo, el porcentaje de hombres feos, tontos y malos?.

 

Realidades inventadas

Se trata de realidades ficticias maquilladas como situaciones aparentemente posibles. A menudo incluyen datos o medidas equivocadas, guiando, perversamente, a creencias falsas, induciendo más tarde a errores inadmisibles. También pueden darse situaciones sin referencias a medidas o características físicas presentado un modelo abstracto que no se corresponderá nunca con una realidad del planeta Tierra.

Ejemplo. Supongamos que en el comienzo de nuestra era, es decir, con el nacimiento de Jesucristo, la Tierra comienza a viajar –digamos, en línea recta, para mayor claridad- a la velocidad de la luz. Engendrará así un cilindro cuya sección recta será la del círculo máximo de la Tierra, y su altura será la velocidad e la luz multiplicada por el tiempo que esté trasladándose, que consideraremos será hasta el año 2000. Supongamos también que este cilindro es de oro macizo y queremos calcular su valor (un gramo de oro vale actualmente 370 pesetas).

Por otra parte, al mismo tiempo que la Tierra comienza a desplazarse como hemos dicho, colocamos una peseta en el banco al interés compuesto del 10% y la dejamos hasta el mismo año 2000. El capital que tendremos entonces en el banco ¿nos permitirá comprar el cilindro de oro macizo?.

Nuestros estudiantes no merecen todas estas realidades trastocadas, todos estos simpáticos ejemplos absurdos.

 

HACIA EL REALISMO MATEMÁTICO DOCENTE

Tal como dijo Hans Freudenthal:

¿Cómo crear contextos adecuados para poder enseñar matematizando?… necesitamos problemas matemáticos que tengan un contexto significativo para los estudiantes

Entenderemos por matematización el proceso de trabajar la realidad a través de ideas y conceptos matemáticos debiéndose realizar dicho trabajo en dos direcciones opuestas: a partir del contexto deben crearse esquemas, formular y visualizar los problemas, descubrir relaciones y regularidades, hallar semejanzas con otros problemas… y trabajando entonces matemáticamente hallar soluciones y propuestas que necesariamente deben volverse a proyectar en la realidad para analizar su validez y significado.

Siguiendo las ideas del proyecto PISA (Jan de Lange y otros) deberíamos prestar especial atención al desarrollo de grandes competencias o habilidades como son el pensar matemáticamente, saber argumentar, saber representar y comunicar, saber resolver, saber usar técnicas matemáticas e instrumentos… pero también saber modelizar.

Aprender a modelizar es saber estructurar el contexto, matematizar y reinterpretar los resultados de esta matematización, revisar el modelo, modificarlo, etc.

Pero no debemos olvidar que el objetivo de enseñar todas estas habilidades debe ser el poder trabajar las grandes ideas como son cambio, crecimiento, espacio, forma, azar, dependencia, relaciones, razonamiento cuantitativo,… son este tipo de grandes ideas las que deberán delimitar el tipo de instrumentos matemáticos a poner en juego.

Siguiendo a Jan de Lange consideraremos el siguiente contexto:

El contexto puede ser la vida cotidiana, cultural, científica, artificial, matemático, etc… los problemas del mundo real serán usados paradesarrollar conceptos matemáticos… luego habrá ocasión de abstraer, a diferentes niveles, de formalizar y de generalizar… y volver a aplicar lo aprendido… y reinventar la matemática…

Una completa e interesante descripción de la modelización matemática ha sido dada por Henry O. Pollak (“Solving Problems in the Real World” en el libro de L.A. Steen (Ed.) Why Numbers Count: Quantitative Literacy for Tomorrow’s America. The College Board, New York, 1997). También H.O. Pollack ha descrito muy minuciosamente los ocho pasos que deben darse en la modelización matemática:

  1. Se identifica algo en el mundo real que queremos conocer, hacer o entender. El resultado es una cuestión en el mundo real.
  2. Seleccionamos “objetos” que parecen importantes en la cuestión del mundo real eidentificamos las relaciones entre ellos. El resultado es la identificación de conceptos clave en la situación del mundo real.
  3. Decidimos lo que consideraremos o lo que ignoraremos sobre los objetos y su inter-relación. No se puede tomar todo en cuenta. El resultado es una versión idealizada de la cuestión original.
  4. Traducimos la versión idealizada a términos matemáticos y obtenemos una formulación matematizada de la cuestión idealizada. A esto lo llamamos un modelo matemático.
  5. Identificamos los apartados de la matemática que pueden ser relevantes para el modelo y consideramos sus posibles contribuciones.
  6. Usamos métodos matemáticos e ideas para obtener resultados. Así surgen técnicas, ejemplos interesantes, soluciones, aproximaciones, teoremas, algoritmos,…
  7. Tomamos todos estos resultados y los trasladamos al principio. Tenemos entonces una teoría sobre la cuestión idealizada.
  8. Ahora debemos verificar la realidad. ¿Creemos en el resultado? ¿Son los resultados prácticos, las respuestas razonables, las consecuencias aceptables?

(a) Si la respuesta es sí, hemos tenido éxito. Entonces el siguiente trabajo que es difícil pero extraordinariamente importante es comunicar lo encontrado a sus usuarios potenciales.
(b) Si la respuesta es no, volvemos al inicio. ¿Por qué los resultados no son prácticos o las respuestas no razonables o las consecuencias inaceptables? Seguramente el modelo no era correcto. Examinemos lo que pudimos hacer mal y porqué y empezamos de nuevo.

Procede entonces preguntarse por los tipos de problemas que pueden ser adecuados para trabajar los procesos de matematización o modelización. Las siguientes tablas reúnen temas de problemas que creemos positivos para la elección de aplicaciones.

Matematización funcional

TIPOS DE PROBLEMAS

  • Leyes de la Naturaleza
  • Visualización de datos
  • Medidas y escalas
  • Distribuciones estadísticas
  • Cálculos de seguros
  • Índices de inflación y desarrollo
  • Consumo de recursos no renovables
  • Tiempos de producción
  • Máximos y mínimos métricos
  • Cálculos numéricos
  • Ajuste y trazado de curvas
  • Epidemiología
  • Efectos de medicamentos
  • Tasas e impuestos
  • Predicción sismológica
  • Predicción médica
  • Predicción metereológica
  • Fabricación de CD’s, CVD’s…
  • Gráficas médicas (crecimiento, ritmo cardiaco)
  • Problemas de visión (isoclinas)
  • Control acústico
  • Topografía y geomática
  • Procesos discretos

Matematización discreta

TIPOS DE PROBLEMAS

  • Crecimiento de personas
  • Crecimiento de poblaciones
  • Crecimiento de capitales
  • Planificación de pensiones
  • Cancelación de hipotecas
  • Análisis meteorológico
  • Análisis económico
  • Análisis de catástrofes
  • Explotación de recursos
  • Epidemiología
  • Elecciones políticas
  • Repartos justos
  • Contabilidad de posibilidades
  • Codificación numérica
  • Organización secuencial de tareas
  • Conexiones telefónicas
  • Rutas óptimas en viajes
  • Distribuciones espaciales
  • Circuitos electrónicos
  • Costes mínimos, optimización
  • Redes de comunicaciones
  • Juegos, simulaciones
  • Posibilidades computacionales
  • Digitalización de imágenes

Matematización algebraica

TIPOS DE PROBLEMAS

  • Dependencias lineales entre variables
  • Coordenadas geográficas
  • Coordenadas en objetos
  • Encriptación de mensajes
  • Ampliaciones y reducciones
  • Cambios de escala en gráficas
  • Problemas de consenso
  • Problemas de decisión
  • Cálculo de cargas constructivas
  • Diseño asistido por ordenador
  • Corrección de errores
  • Digitalización de imágenes
  • Geometría computacional
  • Regresión lineal estadística
  • Códigos lineales
  • Producción sectorial
  • Macroeconomía
  • Expresiones recurrentes
  • Formas cónicas
  • Formas cuádricas
  • Frisos y decoraciones
  • Collages gráficos
  • Inputs/Outputs
  • Procesos discretos

Matematización geométrica

TIPOS DE PROBLEMAS

  • Forma-Función en Naturaleza
  • Problemas físico-químicos
  • Construcción de máquinas
  • Movimiento de robots
  • Tratamiento de imágenes
  • Reconocimiento de formas
  • Diseño asistido por computador
  • Imágenes médicas
  • Empaquetamientos óptimos
  • Elaboración de mapas
  • Aplicaciones fotográficas
  • Satélites orbitales
  • Diseño industrial de objetos
  • Diseño en joyería
  • Decoración (frisos, mosaicos,…)
  • Coordinación modular
  • Construcción arquitectónica
  • Ingeniería civil (estructuras,..)
  • Pintura y escultura
  • Música y acústica
  • Coreografía (focos, teatro, danza,…)
  • Patrones y confección
  • Representaciones diversas
  • Creatividad con formas

Matematización estadística

TIPOS DE PROBLEMAS

  • Leyes de la Naturaleza
  • Muestreo significativo
  • Cálculo de probabilidades
  • Sondeos de opinión
  • Demografía y censos
  • Decisiones
  • Pirámides de edad
  • Simulación de fenómenos
  • Encuestas de precios
  • Índices de precios y consumos
  • Negocio de Casinos y Loterías
  • Preferencias, audiencias
  • Contabilidad ecológica
  • Tablas de mortalidad
  • Problemas de colas
  • Experimentación con fármacos
  • Repeticiones de fenómenos naturales
  • Dependencias entre parámetros
  • Independencias entre variables
  • Control de la calidad
  • Visualización de la información
  • Transmisión de información
  • Corrección de errores
  • Medidas experimentales
  • Seguros ante riesgos

PROBLEMAS EJEMPLARES

Si antes hemos criticado los problemas correspondientes a realidades evitables, ahora y enlazando con el listado anterior de temas hemos seleccionado unos enunciados del nivel de secundaria que consideramos representan bien lo que estamos presentando:

 

El problema de la lata de Coca-Cola (Garfunkel)

La lata usual contiene 33 cl siendo su espesor de aluminio de 0,508 mm pero su tapa superior tiene el triple de grueso. Calcule las dimensiones del cilindro que minimiza el coste del aluminio y contraste los resultados con las medidas reales.

Goles de penalti (E. Fernández, J.F. Matos)

Haga una lista de los parámetros que pueden considerarse al tirar un penalti en fútbol y que relaciones deben darse entre los mismos para marcar un gol.

Localizacíón óptima (Pólya)

Dadas tres poblaciones A, B y C cuyas distancias son conocidas ¿cuál es el punto P cuya suma de distancias a A, B y C resulta mínima? Idear diversas estrategias.

Un método de escaños políticos por sucesión de divisores (Ramirez)

Sean V1≥V2≥…≥Vn los votos (ordenados de n partidos que deben repartirse e escaños. Fíjese una sucesión 0<d1<d2<…<de y divídase cada Vi por los e números (Vi/d1, Vi/d2,…,Vi/de). Forme así una matriz con las n filas y e columnas de las divisiones y márquense las e cantidades mayores en esta matriz. Asígnense tantos escaños a cada partido como números mayores aparecen en cada fila correspondiente.

Son usuales las sucesiones:

Imperiali: 2, 3, 4, 5, 6,…
D’Hondt: 1, 2, 3, 4, 5,…
St-Lagüe I: 1, 3, 5, 7, 9,…
St-Lagüe II: 1, 4, 3, 5, 7, 9,…
Danés: 1, 4, 7, 10, 13,…

ISBN (COMAP)

El código ISBN (F.G. Forster, 1969) o International Standard Book Numbers contiene 10 dígitos: d1 d2 d3 d4 d5 d6 d7 d8 d9C, 9 informativos y 1 de control. Los 9 primeros incluyen: 1 ó 2 dígitos indicando idioma o país (0 inglés, 3 alemán, 87 Dinamarca,…), dos o cinco dígitos indicando la editorial y el resto la publicación en concreto. El último dígito de control C se calcula de forma que 10d1+9d2+8d3+…+2d9+C sea múltiplo de 11.

a) Busque C para el ISBN 0-7167-1830-C.

b) Discuta los posibles valores de x, y en el ISBN 0-13-1112xy-3.

c) Discuta posibles errores en el ISBN 0-1111-1211-3 sabiendo que los cinco primeros dígitos son correctos y sólo un dígito está equivocado.

d) ¿Qué ocurre si dos dígitos se intercambian en un ISBN?
Para los arquitectos “la tierra es plana”(Alsina)

Estudiar la diferencia entre la longitud de un trozo de arco terrestre ab y su aproximación lineal tangente (siendo el radio de la Tierra R=6371221 m).

Aspirinas contra infartos (Moore)

Durante varios años 21.996 doctores americanos tomaron en díasalternos dos pastillas para ver si la aspirina o el beta caroteno influían favorablemente respecto de los ataques coronarios. Se trataba pues de un experimento ciego de dos factores que también tuvo en cuenta el posible efecto placebo ¿Cómo cree que se organizó este experimento?

 

DEL REALISMO TEMÁTICO AL REALISMO EN CLASE

Prestar atención docente a la realidad y a los procesos de modelización no es suficiente. Hay otro sentido del realismo al cual prestar atención. Es el realismo de la sensibilidad entre los estudiantes, el entorno social y nuestras propias posibilidades. De nada sirve la innovación docente y curricular si ésta no va unida a una actitud generosa y esperanzadora por formar buenas personas. Es el realismo de saber unir a nuestro discurso nuestra activa predisposición emocional a animar, motivar, interesar, dialogar, etc. Si descuidamos este valor añadido que podemos aportar a la formación, nuestra labor será substituible por perfectas presentaciones multimedia.

Muchas gracias por su implicación personal en su apuesta por el futuro de las personas.

REFERENCIAS

  • Alsina, C., 1998, Contar bien para vivir mejor. Editorial Rubes, Barcelona.
  • Alsina, C., 1998, Neither a microscope nor a telescope, just a mathscope, Proceed. ICTMA-1997.
  • Alsina, C.; Burgués, C.; Fortuny, J.M.; Giménez, J.; Torra, M., 1996, Enseñar Matemáticas, Graó, Barcelona.
  • Alsina, C.; Fortuny, J.M., 1993, La Matemàtica del Consumidor Barcelona: Inst. Cat. Consum. Generalitat de Catalunya.
  • Blum, W.; Niss, M., 1991, Applied mathematical problem solving, modeling, applications and links to other subjects- State, trends and issues in mathematics instruction. In W. Blum, M. Niss & I. Huntley, Eds., Modeling, applications and applied problem solving-Teaching mathematics in a real context. Chichester: Ellis Horwood, 1989, 1-21.
  • Davis, P.J.; Hersh, R., 1981, The Mathematical Experience, Boston, Birkhauser.
  • De Lange, J., 1987, Mathematics, Insight and Meaning, Utrecht, OW & OC.
  • De Lange, J., 1996, Real problems with real world mathematics, Proc. ICME-8, Sevilla.
  • De Lange, J.; Keitel, C.; Huntley, I.; Niss, M. ed., 1993, Innovation in Maths Education by Modelling and Applications, Chichester, Ellis Horwood Limited.
  • Devlin, K., 1997, Why we should reduce skills teaching in the math class, Focus, MAA.
  • Freudenthal, H., 1983. Major Problems in Mathematics Education in: Zweng, M. and Green, T. ; Kiplatrick, J. ; Pollak, H. ; Suydam M. ed. Proceedings of the Fourth International Congress on Mathematical Education, Boston, Birkhauser.
  • Garfunkel, S. et al., 1998-2000, Modeling Our World (Arise Project) Lexington, COMAP.
  • Moore, D.S., 1995, The Basic Practice of Statistics, New York: W.H. Freeman.
  • Niss, M., 1989, Aims and scope of applications and modeling in mathematics curricula. In W. Blum et al. (Eds.), Applications and modeling in learning and teaching mathematics (22-31). Chichester: Ellis Horwood.
  • Niss, M., 1992, Applications and modeling in school mathematics – Directions for future developments, en Developments in School Mathematics around the world, v. 3, NCTM, Reston, Virginia.
  • Paulos, J.A., 1996, El hombre anumérico, Tusquets, Ed., Barcelona.
  • Paulos, J.A., 1997, Un matemático lee el periódico, Tusquets, Ed., Barcelona
  • Ramirez, V., 1985, Matemática Aplicada a la distribución de escaños. Método de reparto P.R.I., Epsilón nº 6/7.
  • Ramirez, V., Rae, D., 1993, El sistema electoral español, McGraw Hill.
  • Romberg, T.A.; de Lange J. ed., 1997, Mathematics in Context, Chicago, EBEC.
  • Steen, L.A., 1994, For all practical purposes, COMAP, Lexington. W.H. Freeman Co. New York. Versión española: Matemáticas en la vida cotidiana, Addison-Wesley, Madrid, 1999.